棋子問題建模

《棋子問題建?！酚蓵?huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、數(shù)學(xué)建模作業(yè)二棋子問題1.問題的重述：任取n個(gè)黑白棋子排成一個(gè)圓圈，然后在兩顆顏色相同的棋子之間放一顆黑色的棋子，在兩顆顏色不同的棋子之間放一顆白色的棋子。放完后撤掉原來的棋子，新棋子仍構(gòu)成一個(gè)圈。再重復(fù)以上的過程，問經(jīng)過k次操作各棋子的顏色的變化趨勢(shì)是怎樣的？2.合理的假設(shè)：（1）分別設(shè)黑棋為1，白棋為-1。（2）相同顏色之間插入黑棋，即轉(zhuǎn)化為：1x1=1或（-1）x（-1）=1。（3）相異顏色之間插入白棋，即轉(zhuǎn)化為：1x（-1）=-1或（-1）x1=-1。（4）至少三個(gè)棋子圍成一圈。（5）給出的任意n枚棋子依次編號(hào)為1--n。(6)將奇數(shù)用j表示,偶數(shù)用o表示

2、。3.問題研究描述、結(jié)論：（1）分析：要將n（n>=3）個(gè)黑白不確定的棋子排成一個(gè)圈，且根據(jù)題目要求在相同顏色棋子之間放入黑色的棋子，不同顏色棋子之間插入白色的棋子，即黑黑為黑，白白為黑，黑白為白，白黑為白。若假設(shè)黑棋子為1，白棋子為-1則1*1=1，(-1)*（-1）=1,1*(-1)=-1,(-1)*1=-1.（2）研究描述：【1】設(shè)k為行數(shù)。假設(shè)有n個(gè)棋子，研究n個(gè)棋子中任意一個(gè)棋子（不妨設(shè)為第m個(gè)的變化規(guī)律為：a（m）a（m）a(m+1)a(m)a(m+1)2a(m+2)a(m)a(m+1)3a(m+2)3a(m+3)……通過以上推理過程圖，可以發(fā)現(xiàn)：棋子

3、的黑白由每個(gè)編號(hào)所代表的棋子的指數(shù)有關(guān)。當(dāng)k=1時(shí)，其指數(shù)依次為1，1.當(dāng)k=2時(shí)，其指數(shù)依次為1，2，1.當(dāng)k=3時(shí)，其指數(shù)依次為1，3，3，1.當(dāng)k=4時(shí)，其指數(shù)依次為1，4，6，4，1.當(dāng)k=5時(shí)，其指數(shù)依次為15，10，10，5，1.由以上述遞推結(jié)果可以得到以下一般規(guī)律：k+1,k

4、行172135352171第9行18285670562881第10行193684126126843691第11行1104512021025221012045101第12行：1115516533046246233016555111······【3】根據(jù)假設(shè)奇數(shù)用j表示，偶數(shù)用o表示，則易知：j+j=o，o+o=o，j+o=j，o+j=j.當(dāng)只有兩邊各一個(gè)元素為奇數(shù)時(shí)，且棋子個(gè)數(shù)等于該行行數(shù)減一時(shí)棋子全為黑，因?yàn)槠遄邮茄h(huán)排列，第一個(gè)棋子即是最后一個(gè)棋子，兩邊指數(shù)為一，相加的偶數(shù)，即此時(shí)棋子的指數(shù)全為偶數(shù)，棋子顏色為黑。故當(dāng)某一行的每個(gè)元素的指數(shù)除了兩邊全為偶數(shù)時(shí)，棋

5、子全部為黑；而根據(jù)奇偶相加的性質(zhì)，元素除兩邊全為偶數(shù)的某一行的上一行，其元素全是奇數(shù)。即指數(shù)在楊輝三角的形式下，全奇的下一行才會(huì)出現(xiàn)全偶。下面討論全奇的情況，進(jìn)而得出除兩邊全為偶數(shù)的情況：首先我們將要證明楊輝三角奇偶性的一些性質(zhì)。取楊輝三角左邊四個(gè)個(gè)進(jìn)行楊輝三角變換（附帶第五個(gè)元素的奇偶性）：令初態(tài)為joooo則變化一次為：joooojjooojojoojjjjojoooo有上述變化可得出以下結(jié)論：楊輝三角左邊四個(gè)元素每四行奇偶性循環(huán)一次。又因?yàn)榈谖鍌€(gè)元素恒為o，o+j=jo+o=o故從左邊數(shù)第k個(gè)四個(gè)一組的元素也符合上述規(guī)律。（該組元素不超過楊輝三角中線）下面將

6、推出全為行中元素全為奇數(shù)的一般規(guī)律：有我們證明的楊輝三角的性質(zhì)可知，行中元素全為奇數(shù)的行數(shù)必為4的整數(shù)倍，且楊輝三角從某一全為奇數(shù)的行開始，每四行增加8個(gè)奇數(shù)。假設(shè)第k行時(shí)元素的指數(shù)全為奇數(shù)，則k+4行在兩端分別有4個(gè)奇數(shù)，中間為偶數(shù)，每下一行增加8個(gè)奇數(shù)。假設(shè)第m行時(shí)，元素的指數(shù)也全為奇數(shù)。奇偶性圖如下：第k行jjjjjjj…………………………jjjjjjjj第k+4行jjjjoooooo……………………ooooooojjjj…………………………………第m行jjjjjjjjj…………………………jjjjjjjjjj2[m-(k+4)]=m-8,解得：m=2k由上

7、得出遞推公式：a（n+1）=2a（n）a（0）=4又由實(shí)驗(yàn)可得：當(dāng)a=1,2時(shí)也成立。所以可得一下結(jié)論：（3）結(jié)論：有n個(gè)棋子時(shí)，任意擺設(shè)使棋子顏色全部變黑的充要條件是n=2^k（k=2,3……）。