域的特征素域1

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1、第七章多項(xiàng)式有限域1§7.1域的特征素域7.1.1域的特征7.1.2素域2§7.1.1域的特征設(shè)F是一個(gè)域，e是F的壹，作映射：σ：n→ne，n?I。則：1)σ是整數(shù)環(huán)I到F內(nèi)的映射。因?yàn)閑?F，所以ne?F，故σ(I)?F。2)σ是整數(shù)環(huán)I到F內(nèi)的同態(tài)映射。因?yàn)椋害?m+n)=(m+n)e=me+ne=σ(m)+σ(n)，σ(mn)=(mn)e=(me)(ne)=σ(m)σ(n)。3設(shè)N是σ的核，則N是I的理想。從加法角度看N是I的子群，而I在加法下是循環(huán)群，由循環(huán)群的子群是循環(huán)群知，N是由某一元素生成的，設(shè)為p，則N={np

2、n?I}=pI可設(shè)p≥0，p稱為F的特征。由N是σ的核知，

3、對(duì)?n?N，σ(n)=0F。特別地，p?pI=N，故σ(p)=pe=0F。設(shè)n為乘法單位元e在加法下的周期。下面證明n=p，即p是乘法單位元e在加法下的周期?！?.1.1域的特征41)當(dāng)p=0時(shí)，N=pI={0}。故σ(n)=ne=0Fiffn?Niffn=0=p。即，e在F的加法群里面的周期是∞。2)當(dāng)p>0時(shí)，σ(n)=ne=0Fiffn?Niffn=pk，k?Iiffp

4、n再由σ(p)=pe=0F，知n

5、p。因此，n=p。這就是說(shuō)，e在F的加法群里面的周期是p。§7.1.1域的特征5域F的特征p或等于0或是一個(gè)質(zhì)數(shù)。證明：只需證若F的特征p≠0，則p一定為質(zhì)數(shù)。用反證法。設(shè)p不是質(zhì)

6、數(shù)，則p=hk，1

7、n∈I}，則I’為環(huán)，I～I(xiàn)’，且同態(tài)核N=pI。故，I∕pI?I’。7若F的特征p為質(zhì)數(shù)，往證F包含RP為其最小子域。因p為質(zhì)數(shù)，所以

8、I/pI=RP是一個(gè)域。由I∕pI?I’，知I'是域，因此是F的子域。任取F的子域F’，則F’必然包含e及其任意整數(shù)倍，即，必然包含I'，所以I'是F的最小子域。即，F(xiàn)包含和Rp同構(gòu)的I'為其最小子域。定理7.1.28現(xiàn)在用1代表F的壹：e=1，用整數(shù)n代表ne。特征是質(zhì)數(shù)p時(shí)，modp合同的整數(shù)代表F的同一個(gè)元素，Rp的元素寫作0，1，…，p-1，則抽象地看，Rp與I'一樣。這樣，特征為p的域便包含Rp為其最小子域。定理7.1.29若F的特征p為0，往證F包含R0為其最小子域。由p=0，知σ的核pI=0I={0}，所以I/pI={?,{-1},{0},{1},?}，顯然I/pI?I，而

9、I/pI?I’，故I’?I。I’還不是一個(gè)域，故擴(kuò)充σ:,(n≠0)往證σ為有理域R0到F內(nèi)的一個(gè)同態(tài)映射。定理7.1.210先證σ為有理域R0到F內(nèi)的一個(gè)映射。若h/k=m/n，則hn=km，因此，(hn)e=(km)e，即(he)(ne)=(ke)(me)，因k?0，n?0，F(xiàn)的特征p為0，所以ke?0F，ne?0F，故，he/ke=me/ne，這就是說(shuō)，由σ所規(guī)定的m/n的映象由m/n唯一確定，而與這個(gè)有理數(shù)的表示方法無(wú)關(guān)。定理7.1.211再證σ為同態(tài)映射。因此若令，則R0?R0’定理7.1.212證σ是R0到其映象R0’的同構(gòu)映射，故R0’是域，因此是F的子域。證法一：R0是一

10、個(gè)域而σ不是把它的所有元素映到0，所以，由教材233頁(yè)習(xí)題6.7-1，R0?R0’。證法二：再證明σ是1-1映射即可。因σ是R0到R0’上的映射，只需證若h/k?m/n，則he/ke?me/ne。反證。設(shè)h/k?m/n，而he/ke=me/ne。則(he)(ne)=(ke)(me)，故，(hn)e=(km)e，即(hn)e-(km)e=0F，亦即(hn-km)e=0F，由F的特征p為0，知hn-km=0F，所以hn=km，h/k=m/n，與h/k?m/n，矛盾。定理7.1.213F的任意子域要包含e，e的整數(shù)倍及其商，即包含R0’，所以，F(xiàn)包含和R0同構(gòu)的R0’為其最小子域?，F(xiàn)在用1代表

11、F的壹：e=1，用整數(shù)n代表ne。用有理數(shù)m/n代表me/ne。這樣，抽象地看，R0’與R0一樣。特征為0的域便包含有理域R0為其最小子域。證畢。RP稱為最小域或素域，其中，p為0或質(zhì)數(shù)。例：實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域以R0為其最小子域。定理7.1.2140’IF15設(shè)n是任意整數(shù)，a∈F，若用1代表F的壹：e=1，用整數(shù)n代表ne，則na有兩種意思：1)可以看作是a的n倍，2)可以看作是F中兩個(gè)元素的乘積。結(jié)果都等于(ne)a。結(jié)論1：p是質(zhì)