有效數(shù)字和誤差分析

《有效數(shù)字和誤差分析》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算愈來(lái)愈顯示出其重要性。科學(xué)計(jì)算的應(yīng)用之廣已遍及各行各業(yè)；例如：氣象、地震資料的分析圖像，飛機(jī)、汽車及輪船的外形設(shè)計(jì)，油藏的數(shù)值模擬，高科技研究等都離不開科學(xué)計(jì)算。因此，作為科學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)工具的數(shù)值計(jì)算方法已成為各高等院校數(shù)學(xué)、物理和計(jì)算機(jī)應(yīng)用專業(yè)等理工科本科生的專業(yè)基礎(chǔ)課，也是工科碩士研究生的學(xué)位必修課。為什么要開設(shè)這個(gè)課呢？1.緒論1.認(rèn)識(shí)建立算法和對(duì)每個(gè)算法進(jìn)行理論分析是基本任務(wù)，主動(dòng)適應(yīng)“公式多”的特點(diǎn)；2.注重各章建立算法的問(wèn)題的提法，搞清問(wèn)題的基本提法，逐步深入；3.理解每個(gè)算法建立的數(shù)學(xué)背景，數(shù)學(xué)原理和基本線索，對(duì)最基本的算法要非常熟悉；4.認(rèn)

2、真進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的訓(xùn)練，學(xué)習(xí)各章算法完全是為用于實(shí)際計(jì)算，必須真會(huì)算。如何進(jìn)行學(xué)習(xí)？數(shù)值分析又稱計(jì)算方法或數(shù)值計(jì)算方法，是一門與計(jì)算機(jī)應(yīng)用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程，它研究的是各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的一類近似解法——數(shù)值方法，即從一組原始數(shù)據(jù)（如模型中的某些參數(shù)）出發(fā)，按照確定的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行有限步運(yùn)算，最終獲得數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)值形式的滿足精度要求的近似解。1.1研究對(duì)象數(shù)值分析方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型近似解的算法，討論算法的數(shù)學(xué)原理、誤差和復(fù)雜性，配合程序設(shè)計(jì)進(jìn)行計(jì)算試驗(yàn)并分析試驗(yàn)結(jié)果。與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，用數(shù)值分析所求出的結(jié)果一般不是解的精確值或者準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，而是所求真解的某些近

3、似值或近似曲線。實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算數(shù)值結(jié)果根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計(jì)算方法直到編出程序上機(jī)算出結(jié)果，這一過(guò)程便是數(shù)值分析研究的對(duì)象數(shù)值計(jì)算方法的任務(wù)數(shù)值計(jì)算方法的主要特點(diǎn)借助計(jì)算機(jī)提供切實(shí)可行的數(shù)學(xué)算法.想的精確度;收斂且穩(wěn)定;誤差可以分析或估計(jì).所提出的算法必須具有：可靠的理論分析;理時(shí)間復(fù)雜性好__指節(jié)省時(shí)間；空間復(fù)雜性好__指節(jié)省存儲(chǔ)量。計(jì)算復(fù)雜性好通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明算法行之有效.采用“近似替代”方法→逼近采用“構(gòu)造性”方法采用“離散化”方法把求連續(xù)變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求離散變量的問(wèn)題采用“遞推化”方法復(fù)雜的計(jì)算歸結(jié)為簡(jiǎn)單過(guò)程的多次重復(fù)，易于用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)（

4、迭代法）。采用各種搜索方法構(gòu)造數(shù)值算法主要手段1、數(shù)值逼近插值與擬合、數(shù)值積分與微分2、數(shù)值代數(shù)線性代數(shù)方程組的解法、非線性代數(shù)方程（組）的解法3、微分方程數(shù)值解ODEPDE1.2研究?jī)?nèi)容1.3.1誤差的來(lái)源與分類從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型——模型誤差例:質(zhì)量為m的物體，在重力作用下,自由下落，其下落距離s與時(shí)間t的關(guān)系是：其中g(shù)為重力加速度。1.3誤差通過(guò)測(cè)量得到模型中參數(shù)的值——觀測(cè)誤差求近似解——方法誤差（截?cái)嗾`差）例如，當(dāng)函數(shù)用maclaurin多項(xiàng)式近似代替時(shí)，數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是與0之間。在機(jī)器字長(zhǎng)有限——舍入誤差用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器和筆算，都只能用有限位?=3.1415926…

5、小數(shù)來(lái)代替無(wú)窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來(lái)代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，如：四舍五入后……在數(shù)值計(jì)算方法中，主要研究截?cái)嗾`差和舍入誤差（包括初始數(shù)據(jù)的誤差）對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響！1.3.2誤差與有效數(shù)字1、絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限例:若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長(zhǎng)，大約為1.45米，求1.45米的絕對(duì)誤差。1.45米的絕對(duì)誤差=？不知道！定義：設(shè)是準(zhǔn)確值，為的一個(gè)近似值，稱是近似值的絕對(duì)誤差,簡(jiǎn)稱為誤差。但實(shí)際問(wèn)題往往可以估計(jì)出不超過(guò)某個(gè)正數(shù)，即則稱為絕對(duì)誤差限，有了絕對(duì)誤差限就可以知道的范圍為即落在內(nèi)。在應(yīng)用上，常常采用下列寫法來(lái)刻劃的精度。例1設(shè)x=?=3.1415926…近似值x*=3.14,

6、它的絕對(duì)誤差是0.0015926…，有?x-x*?=0.0015926…?0.002=0.2?10-2例2又近似值x*=3.1416，它的絕對(duì)誤差是0.0000074…，有?x-x*?=0.0000074…?0.000008=0.8?10-5例3而近似值x*=3.1415，它的絕對(duì)誤差是0.0000926…，有?x-x*?=0.0000926…?0.0001=0.1?10-3可見，絕對(duì)誤差限?*不是唯一的，但?*越小越好2、相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限定義：設(shè)是準(zhǔn)確值，是近似值，是近似值的誤差，通常取為近似值的相對(duì)誤差，記作，稱一般情況下是不知道的，怎么辦？事實(shí)上，當(dāng)較小時(shí)是的二次方項(xiàng)級(jí),故可忽

7、略不計(jì).相應(yīng)地，若正數(shù)滿足則稱為的相對(duì)誤差限。例4.甲打字每100個(gè)錯(cuò)一個(gè)，乙打字每1000個(gè)錯(cuò)一個(gè)，求其相對(duì)誤差限解：根椐定義:甲打字時(shí)的相對(duì)誤差限乙打字時(shí)的相對(duì)誤差限3、有效數(shù)字定義：如果則說(shuō)近似表示準(zhǔn)確到小數(shù)后第位，并從這由上述定義第位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為有效數(shù)字，并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為有效位數(shù)。定義:若近似值的誤差限是某一位的半個(gè)單位,也即，若有位有效數(shù)字。則稱其中，是1到9中的一個(gè)數(shù)字；是0到9中一個(gè)