正定二次型和正定矩陣

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1、11§4正定二次型和正定矩陣一、基本概念二、正定矩陣的充分必要條件三、正定矩陣的性質(zhì)22一、基本概念定義設(shè)A為實(shí)n階對(duì)稱矩陣，如果對(duì)于任意非零向量X，二次型f=XTAX均為正數(shù)，則稱二次型f為正定的，其矩陣A稱為正定矩陣.定義如果對(duì)于任意向量X，二次型f=XTAX均為非負(fù)(非正)數(shù)，則稱二次型f為半正(負(fù))定的，其矩陣A稱為半正(負(fù))定矩陣.定義如果實(shí)二次型f=XTAX對(duì)于某些向量X為正數(shù),并且對(duì)于對(duì)于某些向量X為負(fù)數(shù),則稱二次型是不定的.33例44二、正定矩陣的充分必要條件定理實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是其特征值都是正數(shù).證

2、明設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值都是正數(shù).存在正交矩陣Q,使得QTAQ=,為對(duì)角矩陣,其對(duì)角線元素為,對(duì)于令即,顯然又故這就證明了條件的充分性.5設(shè)A是正定矩陣,而是其任意特征值,X是屬于的特征向量,則有于是必要性得證.推論若A是正定矩陣,則

3、A

4、>0.證明566定理實(shí)對(duì)稱矩陣A負(fù)定的充分必要條件是其特征值都是負(fù)數(shù).77例判斷下列矩陣是否為正定矩陣解8899>>E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);A:=matrix([[6,-2,2],[-2,5,0],[2,0,7]]);f:=det(lambda*

5、E-A);f_factor:=factor(f);1010例設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣,且滿足證明A為正定矩陣.證明設(shè)為A的特征值,則為的特征值,故1111無(wú)實(shí)根.A的特征值為1,n重故A是正定矩陣.1212定理實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是它與單位矩陣合同.證明充分性.設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A合同與E,即存在可逆矩陣C,使得對(duì)于任意向量X≠O,由于C可逆,可從解出Y≠O,于是故A是正定的.必要性.設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定的.由于A是實(shí)對(duì)稱的,A合同于一個(gè)對(duì)角矩陣,其對(duì)角線元素是A的特征值由于A是正定的,這些特征值大于零,而這樣的對(duì)角矩陣與單位矩陣

6、合同,故A合同于單位矩陣.13定理實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是存在可逆矩陣P，使得A=PTP.證明設(shè)A=PTP,P可逆.對(duì)于任意,由于P可逆,PX≠o,故設(shè)A正定,則A合同于單位矩陣,即存在可逆矩陣,使得A=PTEP=PTP.14例A正定,B實(shí)對(duì)稱,則存在可逆矩陣R,使得RTAR和RTBR同時(shí)為對(duì)角形.證明存在P,使得PTAP=E,PTBP實(shí)對(duì)稱,存在正交矩陣Q,使得QTPTBPQ=D為對(duì)角形,令R=PQ,則為對(duì)角形.15例A,B正定,AB正定的充分必要條件是A,B可交換.證明必要性設(shè)AB正定,則AB對(duì)稱,充分性設(shè)A,B可交換

7、,則AB是實(shí)對(duì)稱矩陣,A正定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC,CTBC是正定矩陣,特征值為正,AB特征值也為正數(shù),故AB正定.1616定理n階實(shí)對(duì)稱矩陣A負(fù)定的充分必要條件是它與負(fù)單位矩陣合同.1717為了敘述下一個(gè)正定矩陣充分必要條件，我們引進(jìn)定義給定實(shí)對(duì)稱矩陣則其前s行前s列元素組成的行列式稱為A的順序主子式.即1818的行列式.定理實(shí)對(duì)稱矩陣正定的充分必要條件是其順序主子式全大于零.證明必要性設(shè)A是正定矩陣,則對(duì)于非零向量即Ai為正定矩陣,故其行列式1919充分必要性.設(shè)矩陣A的所有順序主子式>0.要證明A是正定矩陣.

8、用數(shù)學(xué)歸納法證明.n=1時(shí)顯然:設(shè)對(duì)于n－1結(jié)論成立.An-1正定,存在n-1階非退化矩陣G,使得令則再令20202121令令則于是A與單位矩陣合同,故A是正定的.推論n階實(shí)對(duì)稱矩陣A負(fù)定順序主子式Ai滿足2222例用順序主子式判斷上例的矩陣的正定性.解故A正定.2323實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是1.其特征值都是正數(shù).2.A合同于3.可逆.4.A的順序主子式全是正數(shù).5.A的主子式全是正數(shù).2424例判斷下列二次型是否正定:2526例t在什么范圍取值時(shí)二次型是正定二次型?解2728定義實(shí)對(duì)稱矩陣A的第行和第列的元素組成的行列

9、式稱為主子式.例如是2階主子式.其中只有是2階順序主子式.2929實(shí)對(duì)稱矩陣A半正定的充分必要條件是1.其特征值都是非負(fù)數(shù).2.A合同于3.A的正慣性指數(shù)p=r.4.A的所有主子式非負(fù).30定理實(shí)對(duì)稱矩陣A半正定的充分必要條件是所有主子式非負(fù).證明設(shè)A半正定.則A+tE正定.其所有主子式個(gè).31設(shè)A的所有主子式非負(fù).考慮矩陣其順序主子式是A的階主子式之和,故正定,對(duì)于任意非零向量X,令得故A半正定.32例但A并非半正定，事實(shí)上，A對(duì)應(yīng)的二次型主子式順序主子式3333三、正定矩陣的性質(zhì)1.若A為正定矩陣,則

10、A

11、>0,A可逆.2.若

12、A為正定矩陣,則A-1也是正定矩陣.證明A為正定矩陣,其全部特征值為正數(shù),A-1的全部特征值是它們的倒數(shù),也全是正數(shù),故A-1正定.3.正定矩陣的對(duì)角線元素都是正數(shù).4.A為正定矩陣,Ak也是正定矩陣.5.A,B為同階正定矩陣,則A+B是正定矩陣.