PCA入門介紹(中文)

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1、主元分析(PCA)理論分析及應(yīng)用什么是PCA?PCA是Principalcomponentanalysis的縮寫，中文翻譯為主元分析。它是一種對數(shù)據(jù)進行分析的技術(shù)，最重要的應(yīng)用是對原有數(shù)據(jù)進行簡化。正如它的名字：主元分析，這種方法可以有效的找出數(shù)據(jù)中最“主要”的元素和結(jié)構(gòu)，去除噪音和冗余，將原有的復(fù)雜數(shù)據(jù)降維，揭示隱藏在復(fù)雜數(shù)據(jù)背后的簡單結(jié)構(gòu)。它的優(yōu)點是簡單，而且無參數(shù)限制，可以方便的應(yīng)用與各個場合。因此應(yīng)用極其廣泛，從神經(jīng)科學(xué)到計算機圖形學(xué)都有它的用武之地。被譽為應(yīng)用線形代數(shù)最價值的結(jié)果之一。在以下的章節(jié)中，不僅有對PCA的比較直觀的解釋，同時也配有較為深入的分析。首先將從一個

2、簡單的例子開始說明PCA應(yīng)用的場合以及想法的由來，進行一個比較直觀的解釋；然后加入數(shù)學(xué)的嚴格推導(dǎo)，引入線形代數(shù)，進行問題的求解。隨后將揭示PCA與SVD(SingularValueDecomposition)之間的聯(lián)系以及如何將之應(yīng)用于真實世界。最后將分析PCA理論模型的假設(shè)條件以及針對這些條件可能進行的改進。一個簡單的模型在實驗科學(xué)中我常遇到的情況是，使用大量的變量代表可能變化的因素，例如光譜、電壓、速度等等。但是由于實驗環(huán)境和觀測手段的限制，實驗數(shù)據(jù)往往變得極其的復(fù)雜、混亂和冗余的。如何對數(shù)據(jù)進行分析，取得隱藏在數(shù)據(jù)背后的變量關(guān)系，是一個很困難的問題。在神經(jīng)科學(xué)、氣象學(xué)、海洋

3、學(xué)等等學(xué)科實驗中，假設(shè)的變量個數(shù)可能非常之多，但是真正的影響因素以及它們之間的關(guān)系可能又是非常之簡單的。下面的模型取自一個物理學(xué)中的實驗。它看上去比較簡單，但足以說明問題。如圖表Error!Bookmarknotdefined.所示。這是一個理想彈簧運動規(guī)律的測定實驗。假設(shè)球是連接在一個無質(zhì)量無摩擦的彈簧之上，從平衡位置沿軸拉開一定的距離然后釋放。圖表Error!Bookmarknotdefined.對于一個具有先驗知識的實驗者來說，這個實驗是非常容易的。球的運動只是在x軸向上發(fā)生，只需要記錄下軸向上的運動序列并加以分析即可。但是，在真實世界中，對于第一次實驗的探索者來說（這也是

4、實驗科學(xué)中最常遇到的一種情況），是不可能進行這樣的假設(shè)的。那么，一般來說，必須記錄下球的三維位置。這一點可以通過在不同角度放置三個攝像機實現(xiàn)（如圖所示），假設(shè)以的頻率拍攝畫面，就可以得到球在空間中的運動序列。但是，由于實驗的限制，這三臺攝像機的角度可能比較任意，并不是正交的。事實上，在真實世界中也并沒有所謂的軸，每個攝像機記錄下的都是一幅二維的圖像，有其自己的空間坐標系，球的空間位置是由一組二維坐標記錄的：。經(jīng)過實驗，系統(tǒng)產(chǎn)生了幾分鐘內(nèi)球的位置序列。怎樣從這些數(shù)據(jù)中得到球是沿著某個軸運動的規(guī)律呢？怎樣將實驗數(shù)據(jù)中的冗余變量剔除，化歸到這個潛在的軸上呢？這是一個真實的實驗場景，數(shù)據(jù)

5、的噪音是必須面對的因素。在這個實驗中噪音可能來自空氣、摩擦、攝像機的誤差以及非理想化的彈簧等等。噪音使數(shù)據(jù)變得混亂，掩蓋了變量間的真實關(guān)系。如何去除噪音是實驗者每天所要面對的巨大考驗。上面提出的兩個問題就是PCA方法的目標。PCA主元分析方法是解決此類問題的一個有力的武器。下文將結(jié)合以上的例子提出解決方案，逐步敘述PCA方法的思想和求解過程。線形代數(shù)：基變換從線形代數(shù)的角度來看，PCA的目標就是使用另一組基去重新描述得到的數(shù)據(jù)空間。而新的基要能盡量揭示原有的數(shù)據(jù)間的關(guān)系。在這個例子中，沿著某軸上的運動是最重要的。這個維度即最重要的“主元”。PCA的目標就是找到這樣的“主元”，最大

6、程度的去除冗余和噪音的干擾。標準正交基為了引入推導(dǎo)，需要將上文的數(shù)據(jù)進行明確的定義。在上面描述的實驗過程中，在每一個采樣時間點上，每個攝像機記錄了一組二維坐標，綜合三臺攝像機數(shù)據(jù)，在每一個時間點上得到的位置數(shù)據(jù)對應(yīng)于一個六維列向量。如果以的頻率拍攝10分鐘，將得到個這樣的向量數(shù)據(jù)。抽象一點來說，每一個采樣點數(shù)據(jù)都是在維向量空間（此例中）內(nèi)的一個向量，這里的是牽涉的變量個數(shù)。由線形代數(shù)我們知道，在維向量空間中的每一個向量都是一組正交基的線形組合。最普通的一組正交基是標準正交基，實驗采樣的結(jié)果通常可以看作是在標準正交基下表示的。舉例來說，上例中每個攝像機記錄的數(shù)據(jù)坐標為，這樣的基便是

7、。那為什么不取或是其他任意的基呢？原因是，這樣的標準正交基反映了數(shù)據(jù)的采集方式。假設(shè)采集數(shù)據(jù)點是，一般并不會記錄（在基下），因為一般的觀測者都是習(xí)慣于取攝像機的屏幕坐標，即向上和向右的方向作為觀測的基準。也就是說，標準正交基表現(xiàn)了數(shù)據(jù)觀測的一般方式。在線形代數(shù)中，這組基表示為行列向量線形無關(guān)的單位矩陣?；儞Q從更嚴格的數(shù)學(xué)定義上來說，PCA回答的問題是：如何尋找到另一組正交基，它們是標準正交基的線性組合，而且能夠最好的表示數(shù)據(jù)集？這里提出了PCA方法的一個最關(guān)鍵的假設(shè)：線性。這是