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《5數(shù)值積分與數(shù)值微分》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第5章數(shù)值積分與數(shù)值微分方法1基本概念梯形公式中矩形公式116則上式為一個(gè)數(shù)值求積公式.稱為求積系數(shù)，稱為求積節(jié)點(diǎn);而稱為求積余項(xiàng)或求積公式的截?cái)嗾`差。從定義可以看到，數(shù)值求積公式依賴于求積節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n、求積節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)，這三個(gè)量有一個(gè)發(fā)生變化，則產(chǎn)生不同的求積公式.116定義1若求積公式對(duì)于次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，而對(duì)于次多項(xiàng)式不準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度.一般，一個(gè)求積公式的代數(shù)精度越大，則該求積公式越好.116確定代數(shù)精度的方法依次取代入公式并驗(yàn)證是否成立.若第一個(gè)使不成立的值為，則對(duì)應(yīng)的代數(shù)精度為.116例1確定求積公式的代數(shù)精度.解取代入求積公式有易驗(yàn)證，但，故本題求
2、積公式代數(shù)精度為3.116例2確定下面求積公式的參數(shù)A，B，C，使它具有盡可能高的代數(shù)精度，并指出相應(yīng)的代數(shù)精度.解本題要先求出具體的求積公式，然后再判斷所求公式的代數(shù)精度。公式有3個(gè)待定參數(shù)，故利用3個(gè)條件得到的3個(gè)等式關(guān)系就可以解決求出具體求積公式的問(wèn)題.116依次取代入求積公式并取等號(hào)，有解之得故所求的求積公式為為確定其代數(shù)精度，再取代入求出的公式繼續(xù)計(jì)算，有，故所求的求積公式具有二次代數(shù)精度.116插值型求積公式考慮關(guān)于個(gè)節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值多項(xiàng)式與的余項(xiàng)，有這里兩邊取積分,有116記則有若舍去，得求積公式(求積系數(shù))該公式是插值型求積公式。116插值型求積公式的求積余項(xiàng)當(dāng)為次數(shù)
3、不超過(guò)次的多項(xiàng)式時(shí)，有，對(duì)應(yīng)的.因此個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度至少為若求積公式的代數(shù)精度至少是，則該公式是插值型求積公式.1162.Newton-Cotes求積公式點(diǎn)的Newton-Cotes公式將求積節(jié)點(diǎn)取為[a,b]上的等距節(jié)點(diǎn)做積分變量變換有記稱為Cotes系數(shù).求積公式稱為Newton-Cotes求積公式.116易驗(yàn)證2點(diǎn)的Newton-Cotes公式這正是我們熟悉的梯形公式.3點(diǎn)的Newton-Cotes公式為稱它為Simpson公式.116例1試分別用梯形公式和Simpson公式計(jì)算解用梯形公式計(jì)算，有用Simpson公式計(jì)算，有116梯形公式與Simpson公式的余項(xiàng)梯形公
4、式余項(xiàng)為利用積分中值定理可有梯形公式余項(xiàng)Simpson公式的余項(xiàng)116部分Cotes系數(shù)n12345678當(dāng)較大時(shí)Cotes系數(shù)會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù)，此時(shí)Newton-Cotes不具有數(shù)值穩(wěn)定性，因而一般不用較大的Newton-Cotes公式來(lái)做計(jì)算.1163復(fù)化求積公式1）復(fù)化梯形公式取等距節(jié)點(diǎn)將積分區(qū)間[a,b]n等分,在每個(gè)小區(qū)間上用梯形公式做近似計(jì)算，就有得求積公式---復(fù)化梯形公式116復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)記故復(fù)化梯形公式的求積余項(xiàng)1162)復(fù)化Simpson公式取等距節(jié)點(diǎn)將積分區(qū)間[a,b]n等分,在每個(gè)小區(qū)間上用Simpson公式做近似計(jì)算，再累加起來(lái)就有式中，得復(fù)化Simpson公式116
5、復(fù)化Simpson公式的余項(xiàng)記有復(fù)化Simpson公式的求積余項(xiàng)116例1分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算，要求誤差不超過(guò).解數(shù)值計(jì)算結(jié)果列表，其中代表求積余項(xiàng).N復(fù)化梯形公式復(fù)化Simpson公式2-17.3892595.32-11.592840-0.47822-13.3360231.27-11.98494423-12.3821620.312-12.06420924-12.148004-12.06995125-12.08974226-12.07519427-12.07155828-12.070649本題積分的準(zhǔn)確值為，可見(jiàn)復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式能求出精度較高的解。
6、116例2考慮用復(fù)化Simpson公式計(jì)算要使誤差小于，那么求積區(qū)間[0,1]應(yīng)分成多少個(gè)子區(qū)間？以此計(jì)算積分近似值。解復(fù)化Simpson公式的求積余項(xiàng)為式中.為估計(jì)誤差，要計(jì)算。116注意到，故由此得從而有解出，故要求出滿足計(jì)算精度要求的定積分值，只要將[0,1]分成4個(gè)子區(qū)間即可，此時(shí)算出116
