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《Commutation_Relations_of_Operators_for_Quantum_Dynamics》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第十七講力學(xué)量的完全集合及海森堡不確定關(guān)系一、力學(xué)量的本征函數(shù)集合及本征值集合SetsofEigenfunctionsandtheirEigenvalues1.1DInfiniteSquareWellPotential2.1DsimpleharmonicOscillatorByTianxinYangPage18of187/17/20211.Z-directioncomponentoftheangularmomentum2.Thesquareoftheangularmomentum3.ThemomentumByTianxinYangPage18of187/
2、17/20211.3DSimpleHarmonicOscillatorByTianxinYangPage18of187/17/20211.3DHydrogenAtom二、算符的對易關(guān)系CommutationRelationsofOperatorsforQuantumDynamicsByTianxinYangPage18of187/17/2021基本對易子：Commutator:基本非對易子：Anticommutator:其它力學(xué)量（比如角動量）的對易關(guān)系可以由對易子運算法則得到。對易子運算法則：ComputationRulesforCommutators
3、:ByTianxinYangPage18of187/17/2021在量子力學(xué)中，角動量算符（軌道角動量，自旋角動量和總角動量）是由下列對易關(guān)系定義的。CommutationRelationsofAngular-MomentumOperators:ByTianxinYangPage18of187/17/2021在量子力學(xué)中，角動量算符的疊加規(guī)則：（軌道角動量，自旋角動量和總角動量）ByTianxinYangPage18of187/17/2021根據(jù)角動量的對易關(guān)系和對易子的運算規(guī)則可以得到：角動量平方與角動量的三個分量分別對易！ByTianxinYangP
4、age18of187/17/2021三、對易算符的性質(zhì)Commutators:areimportant!Becausedynamicvariableswho'soperatorscommutecanbemeasuredsimultaneouslyforthesystem.同時測量算符對易的力學(xué)量時，可以同時得到相應(yīng)的力學(xué)量取值。IfthecommutatoroftwooperatorscorrespondingtotheobservablesAandBiszerothenthetwooperatorshavethesamecompletesetofeig
5、enfunctions.Asaconsequence,thewavefunctioncanbeexpectedtobeaneigenfunctionofbothoperators.ThisinturnmeansthatwecansimultaneouslyassigndefinitevaluestothetwoobservablesAandB.如果兩個力學(xué)量A和B的對易子等于零，則說明兩個算符有共同的完備的本征函數(shù)組，在他們共同的本征函數(shù)描述的狀態(tài)下，測量這兩個力學(xué)量，可以同時得到對應(yīng)的本征值。定理：如果兩個算符和有一組共同的本征函數(shù)，而且組成完備系，則
6、算符和對易。ByTianxinYangPage18of187/17/2021逆定理：如果兩個算符和對易，則算符和有共同的組成完備系的本征函數(shù)。在一些算符的共同的本征態(tài)中，這些算符所表示的力學(xué)量同時有確定值。例1：在下測量軌道角動量平方和軌道角動量分量，可以分別得到確定值，它們是和。例2：在下測量動量的三個分量，可以分別得到確定值，它們分別是。ByTianxinYangPage18of187/17/2021四、力學(xué)量的完全集合要完全確定體系所處的狀態(tài)（消除簡并），需要有一組相互對易的力學(xué)量（即通過它們的本征值來完全確定體系所處的狀態(tài)）。這一組完全確定體系狀
7、態(tài)的力學(xué)量成為力學(xué)量的完全集合。在完全集合中，力學(xué)量的數(shù)目一般與體系的自由度的數(shù)目相等。例1：在氫原子體系中，如果只用能量算符是無法完全確定粒子狀態(tài)的，存在能態(tài)簡并和不確定性，但是，由于能量算符，軌道角動量平方和軌道角動量分量是兩兩對易的，即，，，故氫原子的能量本征態(tài)需要用這三個力學(xué)量對應(yīng)的本征值、和（或本征值對應(yīng)的量子數(shù)）完全確定。所以必須用三個量子數(shù)來完全確定波函數(shù)例2：在三維空間中自由粒子的狀態(tài)必須用三個兩兩對易的算符來完全描述。例3：如果只用能量算符是無法完全確定在三維空間中各向同性諧振子的狀態(tài)，存在能態(tài)簡并和不確定性，但是是由三個兩兩對易的，因
8、為，，。當(dāng)用三個算符來描述時，粒子狀態(tài)才完全確定。ByTianxinYangPa
