移動(dòng)曲面擬合法DEM內(nèi)插

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1、移動(dòng)曲面擬合法DEM內(nèi)插DEM內(nèi)插就是根據(jù)參考點(diǎn)上的高程求出其它待定點(diǎn)上的高程，在數(shù)學(xué)上屬于插值問(wèn)題。由于所采用的原始數(shù)據(jù)排列一般不是規(guī)則的，為了獲取規(guī)則格網(wǎng)的DEM，內(nèi)插是必不可少的重要步驟。任意一種內(nèi)插方法都是基于原始函數(shù)的連續(xù)光滑性，或者說(shuō)鄰近的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間存在很大的相關(guān)性，這才有可能有鄰近的數(shù)據(jù)點(diǎn)內(nèi)插出待定點(diǎn)的數(shù)據(jù)。對(duì)于一般的地面，連續(xù)光滑條件是滿足的，但大范圍的地形是很復(fù)雜的，因此整個(gè)地形不可能像通常的數(shù)字插值那樣用一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)擬合。因?yàn)橛玫痛味囗?xiàng)式擬合，其精度必然很差；而高次多項(xiàng)式又可能產(chǎn)生解的不

2、穩(wěn)定性。因此在DEM內(nèi)插中一般不采用整體函數(shù)內(nèi)插（即用一個(gè)整體函數(shù)擬合整個(gè)區(qū)域），而采用局部函數(shù)內(nèi)插。此時(shí)是把整個(gè)區(qū)域分成若干分塊，對(duì)各分塊使用不同的函數(shù)進(jìn)行擬合，并且要考慮相鄰分塊函數(shù)間的連續(xù)性。對(duì)于不光滑甚至連續(xù)（存在斷列線）的地表，即使是在一個(gè)計(jì)算單元中，也要進(jìn)一步分塊處理，并且不能使用光滑甚至連續(xù)條件。此外還有一種逐點(diǎn)內(nèi)插法被廣泛地使用，它是以每一待定點(diǎn)為中心，定義一個(gè)局部函數(shù)去擬合周?chē)臄?shù)據(jù)點(diǎn)。逐點(diǎn)內(nèi)插法十分靈活，一般情況下精度較高，計(jì)算方法簡(jiǎn)單又不需要很大的計(jì)算機(jī)內(nèi)存，但計(jì)算速度可能比其它方法慢

3、，其過(guò)程如下：(1)對(duì)DEM每一格網(wǎng)點(diǎn)，從數(shù)據(jù)點(diǎn)中心檢索出對(duì)應(yīng)該DEM格網(wǎng)點(diǎn)的幾個(gè)分塊格網(wǎng)中的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并將坐標(biāo)原點(diǎn)移至DEM格網(wǎng)點(diǎn)P（Xp，Yp）：（7-4-6）（2）為了選取鄰近的數(shù)據(jù)點(diǎn)，以待定點(diǎn)P為圓心，以R為半徑作圓,如圖7-4-4。凡落在圓內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)即被選用。所選擇的點(diǎn)數(shù)據(jù)根據(jù)采用的局部擬合函數(shù)來(lái)確定，在二次曲面內(nèi)插時(shí)，要求選用的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)n>6。當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi(Xi,Yi)到待定點(diǎn)P（Xp，Yp）的距離（7-4-7）圖7-4-4選取P為圓心R為半徑的圓內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)參加內(nèi)插計(jì)算時(shí)該點(diǎn)即被選用。若選擇的點(diǎn)數(shù)

4、不夠時(shí)，則應(yīng)增大R的數(shù)值，直至數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)n滿足要求。（3）列出誤差方程式。若選擇二次曲面作為擬合曲面。Z=Ax2+Bxy+Cy2+Ey+F(7-4-8)則數(shù)據(jù)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的誤差方程式為(7-4-9)有n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)列出的誤差方程式為v=MX-Z(7-4-10)其中（4）計(jì)算每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的權(quán)。這里的權(quán)pi并不代表數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi觀測(cè)精度，而是反映了該點(diǎn)與待定點(diǎn)相關(guān)的程度。因此，對(duì)于權(quán)pi確定的原則應(yīng)與該數(shù)據(jù)點(diǎn)與待定點(diǎn)的距離di有關(guān)，di愈小，它對(duì)待定點(diǎn)影響愈大，則權(quán)應(yīng)愈大；反之當(dāng)di愈大，權(quán)應(yīng)愈小。常采用的權(quán)有如下幾種形式

5、：(7-4-11)(7-4-12)圖7-4-5三種權(quán)函數(shù)圖象(7-4-13)其中R是選點(diǎn)半徑；di為待定點(diǎn)到數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離；K是一個(gè)供選擇的常數(shù)；e是自然對(duì)數(shù)的底。這三種權(quán)的形式都可以符合上述選擇的原則，但是它們與距離的關(guān)系有所不同，如圖7-4-5所示。具體選用何種權(quán)的形式，需根據(jù)地形進(jìn)行試驗(yàn)選取。(7-4-14)（5）法化求解。根據(jù)平差理論，二次曲面系數(shù)的解為由于所以系數(shù)F就是待定點(diǎn)的內(nèi)插高程。利用二次曲面移動(dòng)擬合法內(nèi)插DEM時(shí)，對(duì)點(diǎn)的選擇除了滿足n>6外，還應(yīng)保證各個(gè)象限都有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而且當(dāng)?shù)匦纹鸱^大時(shí)，

6、半徑R?不能取得很大。當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)較稀或分布不均勻時(shí)，利用二次曲面移動(dòng)擬合可能產(chǎn)生很大的誤差，這是因?yàn)榻獾姆€(wěn)定性取決于法方程的狀態(tài)，而法方程的狀態(tài)與點(diǎn)位分布有關(guān)，此時(shí)可考慮采用平面移動(dòng)擬合或其它方法。Hannover大學(xué)的TASH程序使用的是二次曲面移動(dòng)擬合內(nèi)插法，而Vienna工業(yè)大學(xué)的SORA程序則采用了多個(gè)鄰近點(diǎn)之加權(quán)平均水平面移動(dòng)擬合法內(nèi)插：（7-4-15）其中n為鄰近數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；pi為第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的權(quán)；Zi為第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的高程。