張量以及力學(xué)應(yīng)用

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1、張量及其力學(xué)應(yīng)用西安科技大學(xué)建工學(xué)院贠永峰1矢量1.1矢量表示方法1.2指標(biāo)符號1.3矢量代數(shù)1.4坐標(biāo)變換1.5梯度、散度與旋度1.1矢量表示方法運(yùn)動(dòng)物理中的位移、速度、力都是矢量。最直觀的表示法：三維空間中的有向線段（圖示法）特點(diǎn)：這種方法不依賴于坐標(biāo)系的選擇。（表示在一張圖上的物理矢量，但是有些不同的矢量，事實(shí)上是屬于不同的矢量空間）分量表示法：先選定一個(gè)坐標(biāo)系，比如通常的正交直線坐標(biāo)系，即卡氏坐標(biāo)系，然后確定矢量對于這個(gè)坐標(biāo)系的分量：?（1-υ~（υ，υ，υ）xyz1.1）有序數(shù)可以看做單行矩陣矢量用基

2、矢與其對應(yīng)分量表示????υ=υi+υj+υk（1-1.2）xyz???其中稱為分矢量。υi，υj，υkxyz???i（1，0，0），j(0,1,0)，k(0,0,1)（1-1.3）是單位矢量，它們組成卡氏系中的一組基矢(稱為標(biāo)架)。1.2指標(biāo)符號（1.1中的矢量表示方法推廣到多維空間存在困難）記法x記為x，y記為3維空間的矢量（速度）x,z記為x123變?yōu)棣?~（υ，υ，υ）（1-2.1）123一個(gè)N維空間的矢量(圖示畫不出來)用分量表示時(shí)為：?υ~（υ1，υ2，υ3.....υn）（1-2.2）它可視為一個(gè)

3、N維的單行矩陣，且可寫為?{}（1-1.3）υ=υ（i=1,2,3.....n）i同理，基矢可分別寫為或者???????i,j,ke1，e2，e3ei(i=1,2,3)?N維空間的基矢，可寫為：e(i=1,2,3.....n)i與(1-1.2)式對應(yīng)的寫法為?????（1-2.4）υ=υe+υe+υe+......+υe112233nn相應(yīng)的分矢量為????υe，υe，υe.....υe112233nn其中?e(0,0,...,1,...,0)i順序第個(gè)ii叫做的下標(biāo)。υ有些量比矢量更復(fù)雜，只用一個(gè)下(或上)指

4、標(biāo)還不夠，要采用更ABCDlmGkijijijlkijkl多的指標(biāo)，如張量就是這種形式的一種量。1.3矢量代數(shù)矢量運(yùn)算1.矢量的加法υ矢量的加(減)法運(yùn)算在圖形υ2表示法中，可以采用三角形法或r?1平行四邊形法三角形法分量表示法??（1-3）υ±w=(υ±w,υ±w,υ±w)xxyyzz用指標(biāo)記法??υ±w=(υ±w,υ±w,υ±w)（1-4）112233用基矢表示?????υ±w=(υ±w)e+(υ±w)e+(υ±w)e（1-5）111222333根據(jù)以上所述幾種表示方法容易看見，矢量的加法滿足交換律????

5、（1-6）υ±w=w±υ2.矢量的標(biāo)積和叉積，和符號、并矢δeijkij矢量代數(shù)中的積可以有幾種定義。總之，是從兩已知矢量去定義第三量。下定義時(shí)當(dāng)然最好同已知的物理規(guī)律相聯(lián)系。(1)標(biāo)積和Kronockor符號δij標(biāo)積從物理學(xué)知道，一個(gè)力矢量與一個(gè)位移矢量可以確定一??fs個(gè)標(biāo)量功W=f?s?cosa（1-7）記作，又稱點(diǎn)積。??f?s用指標(biāo)符號??3W?f?s?(fs?fs?fs)?∑fs（1-8）112233iii?1最后一個(gè)等式在符號下有兩個(gè)同樣的指標(biāo)。∑fsiii求和約定符號可以不寫出，凡在一項(xiàng)中有∑

6、一對相同的指標(biāo)，就認(rèn)為對這一指標(biāo)遍歷求和。求和所得的結(jié)果，不再含有這一指標(biāo)。另外，又因?yàn)榍蠛徒Y(jié)果既然不包括所求和的指標(biāo)，那么這一指標(biāo)在運(yùn)算中間寫成什么別的指標(biāo)也不會(huì)影響結(jié)果。W=fs=fs=fs（1-9）iillkkn這一記法可以推廣到N維空間，即代表，也可以推廣到用aibi∑abiii=1指標(biāo)符號表示的其它物理量，如T=ββT=ββT（1-10）ijiljmlmiαjβαβ只要注意將一對求和指標(biāo)同時(shí)替換，如(1-9)式換成，il(1-10)式中換成。換，它們的含意都是相同的，即lαmβnnT=ββT+ββT+

7、ββT+?=∑∑ββTiji1j111i1j212i1j313iljmlml=1m=1（相同的指標(biāo)叫做啞指標(biāo)，其他指標(biāo)為自由指標(biāo)）與(1-9)式對應(yīng)，當(dāng)分別用基矢表示時(shí)，可寫為??f、s????W=f?s=（fe）（?se）iijj??????=（fe+fe+fe）?(se+se+se)112233112233??????=fse?e+fse?e+fse?e111112121313??????+fse?e+fse?e+fse?e212122222323??????+fse?e+fse?e+fse?e313132

8、323333??=∑fse?eijiji、j??=fisjei?ej（1-11）令為相互垂直的單位矢量，由點(diǎn)積的定義知??e?，e?，e?ei?ej=δij1230當(dāng)i≠j時(shí)（1-12）δ=ij所以有1當(dāng)i=j時(shí)??W=fse?e=fsδ=fs=fs+fs+fsijijijijii112233δ稱為Kronecker符號。對于N維向量擴(kuò)大變程為i、j=1，2?nij于是N維空間的點(diǎn)積為