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《二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題【學(xué)前思考】二次函數(shù)在閉區(qū)間上取得最值時(shí)的，只能是其圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)或給定區(qū)間的端點(diǎn).因此，影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三個(gè)因素：拋物線的開口方向、對(duì)稱軸以及給定區(qū)間的位置.在這三大因素中，最容易確定的是拋物線的開口方向（與二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)有關(guān)），而關(guān)于對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系的討論是解決二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題的關(guān)鍵.本節(jié)，我們將以若干實(shí)例說明解決此類問題的具體方法.【知識(shí)要點(diǎn)＆例題精講】二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，常見的有以下三種類型，分別是：CaseⅠ、給定區(qū)間確定，對(duì)稱軸位置也確定說明：此種類型是較為簡(jiǎn)單的一種，只要找到二次函數(shù)的對(duì)稱軸
2、，畫出其函數(shù)圖像，再將給定區(qū)間標(biāo)出，那么二次函數(shù)的最值一目了然.解法：若二次函數(shù)的給定區(qū)間是確定的，其對(duì)稱軸的位置也確定，則要求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，只需先考察其對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)是否在給定區(qū)間內(nèi).（i）當(dāng)其對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)在給定區(qū)間內(nèi)時(shí)，二次函數(shù)在給定區(qū)間上不具有單調(diào)性，此時(shí)其一個(gè)最值在頂點(diǎn)處取得，另一個(gè)最值在離對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；（ii）當(dāng)其對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)不在給定區(qū)間內(nèi)時(shí)，二次函數(shù)在給定區(qū)間上具有單調(diào)性，此時(shí)可利用二次函數(shù)的單調(diào)性確定其最值.例1、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值是_______.例2、函數(shù)在區(qū)間上的最大值是_______，最小值是_______.14例3、已知，則函
3、數(shù)的最大值是_______，最小值是______.CaseⅡ、給定區(qū)間確定，對(duì)稱軸位置變化說明：此種類型是非常重要的，是考試必考點(diǎn)，主要是討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，一般需要分對(duì)稱軸在給定區(qū)間的左側(cè)、內(nèi)部以及右側(cè)三種情況進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)不同情況求出相應(yīng)的最值.解法：若二次函數(shù)的給定區(qū)間是確定的，而其對(duì)稱軸的位置是變化的，則要求二次函數(shù)（）在給定區(qū)間上的最值，需對(duì)其對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.這里我們以的情形進(jìn)行分析：（ⅰ）若，即對(duì)稱軸在給定區(qū)間的左側(cè)，則函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)，；（ⅱ）若，即對(duì)稱軸在給定區(qū)間的內(nèi)部，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，
4、或，至于最大值究竟是還是，還需通過考察對(duì)稱軸與給定區(qū)間的中點(diǎn)的位置關(guān)系作進(jìn)一步討論：若，則；若，則；（ⅲ）若，即對(duì)稱軸在給定區(qū)間的右側(cè)，則函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，.綜上可知，當(dāng)時(shí)，；14.通過同樣的分析可得到：當(dāng)時(shí)，；.例4、已知且，求函數(shù)的最值.例5、求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.例6、求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.例7、設(shè)函數(shù)（），當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值的解析式.14例8、已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.CaseⅢ、給定區(qū)間變化，對(duì)稱軸位置確定說明：此種類型，考試中出現(xiàn)的較少，一般是給定區(qū)間里含有參數(shù).解決此類問題，亦可根據(jù)對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位
5、置關(guān)系，分對(duì)稱軸在給定區(qū)間的左側(cè)、內(nèi)部以及右側(cè)三種情況進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)不同情況求出相應(yīng)的最值.解法：若二次函數(shù)的給定區(qū)間是變化的，而其對(duì)稱軸的位置是確定的，則要求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，需對(duì)變化區(qū)間是否包含其對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)進(jìn)行分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)為：變化區(qū)間包含其對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)，變化區(qū)間不包含其對(duì)稱軸的橫坐標(biāo).解決方法與知識(shí)點(diǎn)2類似，這里不再贅述.例9、已知函數(shù)定義在區(qū)間（）上，求的最小值.例10、已知函數(shù)，當(dāng)（）時(shí)，求的最大值.14CaseIV、與二次函數(shù)最值問題有關(guān)的綜合題型利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上取得最值，可以求解、證明或探究以下綜合問題：（1）求函數(shù)的最值或最值的取值范圍；（2
6、）求函數(shù)的解析式；（3）證明不等式；（4）求參數(shù)的取值范圍；（5）探究參數(shù)是否存在；……例11、設(shè)函數(shù)，，為常數(shù).（I）求的最小值的解析式；（II）在（I）中，是否存在最小的整數(shù)，使得對(duì)于任意均成立.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（I）函數(shù)的圖像是開口向上，對(duì)稱軸為直線的拋物線（i）若，即此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是（ii）若，即此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減于是（iii）若，即此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是綜上可知，14（II）要使對(duì)于任意的均成立，只需，下求由函數(shù)的圖像可見，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減于是
7、又故的最小值為例12、已知函數(shù)（），記是在區(qū)間上的最大值.（Ⅰ）當(dāng)且時(shí)，求的值；（Ⅱ）若，證明.【解析】（I）函數(shù)的圖像是開口向上，對(duì)稱軸為直線的拋物線而函數(shù)的圖像是將函數(shù)在軸上方的圖像保持不變、把它在軸下方的圖像翻折上去得到的（I）當(dāng)時(shí)，函數(shù)（i）若此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞增于是，即（舍去）（ii）若此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱軸不在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減于是14，即（舍去）（iii）若此
