排列、組合及其應用

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1、排列、組合及其應用排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)定義1.排列：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，_________________________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.1.組合：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素____________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.按照一定的順序排成一列合成一組排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)定義2.排列數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的________________________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù).2.組

2、合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的_____________________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).所有不同排列的個數(shù)所有不同組合的個數(shù)n！1如何區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題？【提示】區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題，關鍵是看所選出的元素與順序是否有關，若交換某兩個元素的位置對結果產(chǎn)生影響，則是排列問題，否則是組合問題.1．從1,2,3,4,5,6六個數(shù)字中，選出一個偶數(shù)和兩個奇數(shù)，組成一個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有()A．9個B．24個C．36個D．54個【答案

3、】D2．某外商計劃在5個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有()A．60種B．70種C．80種D．120種【答案】D3．把3盆不同的蘭花和4盆不同的一玫瑰花擺放在右圖圖案中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中三盆蘭花不能放在一條直線上，則不同的擺放方法為()A．2680種B．4320種C．4920種D．5140種【答案】B4．如圖，湖中有四個小島，要在這四個小島間建三座小橋，使游人可以到達每個小島，則不同的建法有________種．【答案】165．從1,2

4、,3,4,5這五個數(shù)字中，任取三個組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，若三個數(shù)字中有2和3，則2排在3的前面，這樣的三位數(shù)共有________個．【解析】間接法，組成的三位數(shù)減去2排在3后面的情況，即A35－9＝51.【答案】51【思路點撥】利用排列數(shù)和組合數(shù)的公式及意義求解，(2)中注意n的取值范圍．(4)全體排成一排，女生必須站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰；(6)全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有3人．【思路點撥】無限制條件的排列問題，直接利用排列數(shù)公式即可．但要看清是全排列還是選排列；有限制條件的排列問題，常見

5、類型是“在與不在”、“鄰與不鄰”問題，可分別用相應方法．求排列應用題的主要方法有：(1)直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計算．(2)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法．即先排特殊元素或特殊位置．(3)排列、組合混合問題先選后排的方法．(4)相鄰問題捆綁處理的方法．即可以把相鄰元素看作一個整體參與其他元素排列，同時注意捆綁元素的內部排列．(5)不相鄰問題插空處理的方法．即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中．(6)分排問題直排處理的方法．(7)“小集團”排列問題中先集體后局部的處理方法．

6、(8)定序問題除法處理的方法．即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列．(9)正難則反，等價轉化的方法．1．由四個不同數(shù)字，1,2,4，x組成無重復數(shù)字的三位數(shù)．(1)若x＝5，其中能被5整除的共有多少個？(2)若x＝9，其中能被3整除的共有多少個？(3)若x＝0，其中的偶數(shù)共有多少個？(4)若所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之總和是252，求x.(5)選取3名男生和2名女生分別擔任班長、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔任，班長必須由女生擔任．【思路點撥】(1)(2)屬于組合問題，可用直接法；(3

7、)(4)屬于組合問題可用間接法；(5)屬于先選后排問題應分步完成．組合問題常有以下兩類題型變化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．2．某旅游團要從8個風景點中選出兩個風景點作為當天的游覽地，滿足下面條件的選法各有

8、多少種？(1)甲、乙兩個風景點至少選一個；(2)甲、乙兩個風景點至多選一個；(3)甲、乙兩個風景點必須選一個且只能選一個．(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．【思路點撥】這是一個分配問題，解題的關鍵是搞清