從一道考題談函數(shù)不等式證明的教學(xué)

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時間:2019-07-09

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1、從一道考題談函數(shù)不等式證明的教學(xué)各地高三調(diào)考題都有很好的練兵效果。前不久武昌區(qū)高三數(shù)學(xué)調(diào)考就出了這么一道題:求證當(dāng)時,恒有成立。學(xué)生普遍反應(yīng)此題不好證明,得分情況不容樂觀。教師:有人說這道考題超難,那么這節(jié)課我們就來一起研究,看看它到底難在何處??匆娺@道題,你們的解題思路是什么?這道題到底想考察我們什么知識和能力?學(xué)生:我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于(或小于)0時,則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增(或遞減)。因而在證明不等式時,根據(jù)不等式的特點,有時可以構(gòu)造函數(shù),用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的。即把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)

2、性的問題。學(xué)生:這道題想考察我們利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性的知識,以及將證明不等式問題轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性的問題的能力和技巧。學(xué)生:可以將問題轉(zhuǎn)化為求證恒成立,對函數(shù)求導(dǎo)得,但是這個導(dǎo)函數(shù)太復(fù)雜了,很難判斷極值情況,下面就不知道該怎么辦了,只能猜。教師:他對原不等式做了移項處理,未對不等式的結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步的分析和調(diào)整,構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜,其計算難度較大,那么能否繼續(xù)做下去了?學(xué)生:可以這么處理:考慮到中,只需令,,在內(nèi)遞減,從而,在內(nèi)遞減,故原不等式成立。教師:判斷時有意忽略分母這樣的正(或負(fù))因式,直接構(gòu)造出函數(shù)從而解決問題,這個技巧很重要。學(xué)生:我是這么處理的

3、,將問題轉(zhuǎn)化為求證對恒成立,可以求導(dǎo)得,但是這個導(dǎo)函數(shù)依然很難判斷極值情況,下面就不知道該怎么辦了。學(xué)生:只需對進(jìn)一步求導(dǎo),,在內(nèi)遞增,在內(nèi)遞增,從而,故原不等式成立。教師:構(gòu)造的函數(shù)結(jié)構(gòu)較為簡單,計算難度較小,但由于部分學(xué)生沒有進(jìn)一步求,而直接下結(jié)論,有蒙混的成分。判斷時借助,得出在內(nèi)遞增,從而解決問題。這個技巧也很重要很常用。學(xué)生:問題轉(zhuǎn)化為求證恒成立,,在內(nèi)遞增,故原不等式成立。教師:將單獨分離出來,構(gòu)造的函數(shù)表面復(fù)雜,但其實其導(dǎo)函數(shù)可以預(yù)見為分式(不含),便于判斷導(dǎo)數(shù)的符號,計算最為簡便。此法的可取之處在于:構(gòu)造的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)形式簡單,便于判斷其導(dǎo)函數(shù)的符

4、號,值得借鑒。總之,證明不等式時只要在解題過程中需要用到函數(shù)的單調(diào)性或最值,我們都可以構(gòu)造函數(shù)用導(dǎo)數(shù)作工具來解決,構(gòu)造函數(shù)時要盡可能使其導(dǎo)函數(shù)形式簡單,便于判斷導(dǎo)數(shù)符號。這種解題方法也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn)。

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