《計算方法》PPT課件

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1、第六章常微分方程初值問題的數(shù)值解法許多科學技術問題，例如天文學中的星體運動，空間技術中的物體飛行，自動控制中的系統(tǒng)分析，力學中的振動，工程問題中的電路分析等，都可歸結為常微分方程的初值問題。所謂初值問題，是函數(shù)及其必要的導數(shù)在區(qū)間的起始點為已知的一類問題，一般形式為：我們先介紹簡單的一階問題：常微分方程求解求什么？應求一滿足初值問題的解函數(shù)y=y(x)，如對下列微分方程：由常微分方程的理論可知：上述問題的解唯一存在?！陡叩葦?shù)學》中，微分方程求解，如對一階微分方程：y?=f(x,y)是求解解函數(shù)y=y(x)，使?jié)M足上述方程。但能夠求出所謂常微分方程初值問題的數(shù)值解法，就是求它的解，在一系列節(jié)點

2、上的近似值，即：稱為步長，一般總取為常數(shù)。準確的解析函數(shù)y(x)的微分方程是很少的，《高數(shù)》中研究微分方程的求解，是分門別類討論，對不同類型的微分方程，求解方法不一樣，因此，要求解微分方程，首先必須認清類型。由于在實際問題和科學研究中遇到的微分方程往往很復雜，絕大多數(shù)很難，甚至不可能求出解析函數(shù)y(x)，因此只能考慮求其數(shù)值解。本章重點討論一階微分方程，在此基礎上介紹一階微分方程組與高階微分方程的數(shù)值解法。6.1歐拉（Euler）法以Euler法及其改進方法為例,說明常微分方程初值問題數(shù)值解法的一般概念，Euler法很簡單，準確度也不高，介紹此方法的目的，是由于對它的分析討論能夠比較清楚地顯

3、示出方法的一些特點，而這些特點及基本方法反映了其它方法的特點。Euler法用于求解一階微分方程初值問題：6.1.1歐拉折線法從幾何意義出發(fā)：一階常微分方程：及初始條件：的解解函數(shù)y=y(x)在xoy平面上是一族解曲線，而初值問題則是其中一條積分曲線，假定y=y(x)的曲線如下圖所示，從給定的點P0(x0,y0)出發(fā)，以P0為切點，作切線，切線斜率為曲線y(x)的切線斜率y?=f(x0,y0)，因此可得切線：P1P2y(x)P0x2x1x0切線與直線相交：取作為的近似值。再過點，作斜率為的直線方程：它與直線相交：取作為的近似值。它與直線相交：依次下去，就可以求得點，通過這點作斜率為的直線方程：

4、由此便得到原初值問題的解在節(jié)點處的近似值。我們把這種求解初值問題的方法，稱為歐拉折線法?？梢钥闯?，歐拉折線法的計算公式為：通過上述計算過程可以看出，歐拉折線法的基本思想是用一系列直線所組成的折線去近似地代替曲線，并用這些直線交點處的縱坐標作為精確解的近似值。歐拉折線法的截斷誤差：假設第n步求得的是精確的，即，則在第n+1步，把稱為歐拉折線法的截斷誤差。又由泰勒展開式可知：所以這說明歐拉折線法的精度是很差的。6.1.2歐拉方法的改進要求常微分方程及初始條件：的解，可以通過積分方法求得：①.令，代入上面積分方程，得：②.令，代入原積分方程，得：在微分方程兩邊，從到對求積分：要求一個函數(shù)的數(shù)值積分

5、，通過第五章的學習，我們已學會了很多方法：梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式以及龍貝格公式。而選用不同的數(shù)值積分方法，便導出不同的計算公式：③.根據(jù)遞推，一般有：要求得的近似值，只要用數(shù)值方法求出的積分近似值就可以了。①.采用矩形公式:以左矩形面積代替曲邊梯形面積,如下圖所示，亦即以：yf(x,y)xnxxn+1②.采用矩形公式:以右矩形面積代替曲邊梯形面積,如下圖所示，亦即以：yf(x,y)xnxxn+1③.采用梯形公式:以梯形面積代替曲邊梯形面積,如下圖所示，亦即以：當時，由此便得到微分方程初值問題的一系列近似值，利用上述公式求解一階微分方程初值問題的方法稱為梯形法則。代入遞推公式，得：若

6、用和分別近似和，則有計算公式：yf(x,y)xnxxn+1梯形公式看作是以（xn,yn）(xn+1,yn+1)構造的插值多項式代替被積函數(shù)得到的，而Euler公式則是以左端點函數(shù)值近似被積函數(shù)而得到，還可以用多個點做插值多項式近似被積函數(shù)構造另一些精度更高的求解微分方程的數(shù)值公式，梯形公式比Euler公式更準確一些，誤差更小。注1：Euler公式為顯式，右矩形，梯形公式為隱式；注2：前面已有Euler法的局部截斷誤差：誤差階：如果局部截斷誤差則稱方法為P階的。顯然，Euler法為1階方法,且步長h越小，階數(shù)P越高，局部截斷誤差越小，當然計算精度越高；注3：梯形法是幾階？梯形法精度比Euler

7、法高，階數(shù)肯定比Euler法高，其實我們可以利用數(shù)值積分公式的誤差估計式，因為我們是用梯形數(shù)值積分公式計算因此,由積分中梯形公式的誤差知此時的局部截斷誤差為：∴梯形法為2階方法！注4：Euler法與梯形法在計算上有根本區(qū)別，Euler公式中的yn為已知值或已算出的值，由yn可直接求出yn+1，這種方法通常稱為顯式方法，而在梯形法則中，yn+1隱含在函數(shù)f(xn+1,yn+1)中，必須通過解方程才能求出來，因此