數(shù)值計(jì)算方法與誤差分析

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1、第一章數(shù)值計(jì)算引論數(shù)值計(jì)算方法就是要解決如何讓計(jì)算機(jī)計(jì)算數(shù)值(如解方程、解方程組、求積分等)不僅算得快（用的機(jī)時(shí)少）、而且也要算得準(zhǔn)（與真實(shí)值的誤差小)的問題。如果光算得快,算得不準(zhǔn)(超過了誤差范圍),計(jì)算出來的結(jié)果不能用,計(jì)算也就沒有什么意義。如何才能讓計(jì)算機(jī)既算得快又算得準(zhǔn)（誤差達(dá)到最?。┠兀窟@就需要掌握一些誤差知識(shí)。本章介紹的內(nèi)容?。?shù)值計(jì)算方法的含義及其特點(diǎn)；ⅱ）誤差的來源；ⅲ）誤差的有關(guān)概念（絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字）；ⅳ）誤差的傳播過程；ⅴ）算法的數(shù)值穩(wěn)定性概念；ⅵ）選用數(shù)值算法的若

2、干原則。第一節(jié)數(shù)值計(jì)算方法研究的對(duì)象、內(nèi)容及特點(diǎn)數(shù)值計(jì)算方法是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,又稱數(shù)值分析或計(jì)算方法,它是研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論的一門學(xué)科,是程序設(shè)計(jì)和對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析的依據(jù)和基礎(chǔ)。我們知道，用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問題需要經(jīng)過以下幾個(gè)過程：提出具體問題,建立數(shù)學(xué)模型，選用數(shù)值計(jì)算方法，程序設(shè)計(jì)、上機(jī)調(diào)試直至得出最終數(shù)值結(jié)果?？梢?選用數(shù)值計(jì)算方法是應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算全過程的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。數(shù)值計(jì)算方法特點(diǎn)（1）面向計(jì)算機(jī)。根據(jù)計(jì)算機(jī)特點(diǎn)提供實(shí)際可行的有效算法。即算法只能

3、包括加、減、乘、除和邏輯運(yùn)算，是計(jì)算機(jī)所能直接處理的。（2）有可靠的理論分析。能任意逼近并達(dá)到精度要求，對(duì)近似算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性，還要對(duì)誤差進(jìn)行分析。有相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論做基礎(chǔ)。（3）有好的計(jì)算復(fù)雜性（包括空間復(fù)雜度和時(shí)間復(fù)雜度）。算法需占用的存儲(chǔ)空間要小，運(yùn)算次數(shù)要少。這也是建立算法要研究的問題，它關(guān)系到算法能否在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。第二節(jié)誤差用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問題通常經(jīng)歷以下過程：據(jù)此誤差的來源主要有以下四類。實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算結(jié)果（一）建模誤差在將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)

4、模型的過程中，為了使數(shù)學(xué)模型盡量簡單，以便于分析或計(jì)算，往往要忽略一些次要的因素，進(jìn)行合理的簡化。這樣，實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型之間就產(chǎn)生了誤差，這種誤差稱為模型誤差。由于這類誤差難于作定量分析，所以在計(jì)算方法中，總是假定所研究的數(shù)學(xué)模型是合理的，對(duì)模型誤差不作深入的討論。（二）觀測(cè)誤差在數(shù)學(xué)模型中，一般都含有從觀測(cè)（或?qū)嶒?yàn)）得到的數(shù)據(jù)，如溫度、時(shí)間、速度、距離、電流、電壓等等。但由于儀器本身的精度有限或某些偶然的客觀因素，會(huì)引入一定的誤差，這類誤差叫做觀測(cè)誤差。通常根據(jù)測(cè)量工具或儀器本身的精度，可以知道

5、這類誤差的上限值，所以無需在數(shù)值分析中作過多的研究。當(dāng)數(shù)學(xué)模型得不到精確解時(shí)，要用數(shù)值計(jì)算方法求它的近似解，由此產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差或方法誤差。譬如在數(shù)值計(jì)算中，常用收斂的無窮級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)來代替無窮級(jí)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，即拋棄了無窮級(jí)數(shù)的后段，這樣就產(chǎn)生了截?cái)嗾`差。（三）截?cái)嗾`差（方法誤差）（四）舍入誤差由于計(jì)算機(jī)字長有限，原始數(shù)據(jù)的輸入及浮點(diǎn)運(yùn)算過程中都可能產(chǎn)生誤差。而事實(shí)上，無論用電子計(jì)算器計(jì)算還是筆算，都只能用有限位小數(shù)來代替無窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，這樣產(chǎn)生的誤差叫做舍入

6、誤差。在數(shù)值計(jì)算中，往往要進(jìn)行成千上萬次四則運(yùn)算，因而就會(huì)有成千上萬個(gè)舍入誤差產(chǎn)生，這些誤差一經(jīng)疊加或傳遞，對(duì)精度可能有較大的影響。所以，作數(shù)值計(jì)算時(shí)，對(duì)舍入誤差應(yīng)予以足夠的重視。小結(jié)上述四類誤差都會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，但模型誤差和觀測(cè)誤差往往需要會(huì)同各有關(guān)學(xué)科的科學(xué)工作者共同研究,因此在計(jì)算方法課程中,主要研究截?cái)嗾`差和舍入誤差（包括初始數(shù)據(jù)的誤差）對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。一、絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限定義1假設(shè)某一量的準(zhǔn)確值為x，近似值為x*,則x與x*之差叫做近似值x*的絕對(duì)誤差（簡稱誤差），記為ε(x

7、)，即ε(x)=x－x*

8、ε(x)︱的大小標(biāo)志著x*的精確度。一般地，在同一量的不同近似值中,︱ε(x)︱越小，x*的精確度越高。當(dāng)︱ε(x)︱較小時(shí)，由微分和增量的關(guān)系知x*的絕對(duì)誤差ε(x)≈dx，故我們可以利用微分估計(jì)誤差。絕對(duì)誤差限的概念由于準(zhǔn)確值x一般不能得到，于是誤差的準(zhǔn)確值也無法求得，但在實(shí)際測(cè)量計(jì)算時(shí)，可根據(jù)具體情況估計(jì)出它的大小范圍。也就是指定一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù)ξ，使

9、ε(x)

10、=

11、x－x*

12、≤ξ我們稱ξ為近似值x*的絕對(duì)誤差限。有時(shí)也用x=x*±ξ表示近似值的精度或準(zhǔn)確值的所在范圍

13、。在實(shí)際問題中，絕對(duì)誤差一般是有量綱的。例如，測(cè)得某一物體的長度為5m，其誤差限為0.01m，通常將準(zhǔn)確長度?記為?=5±0.01即準(zhǔn)確值在5m左右，其誤差限為0.01m的誤差限。相對(duì)誤差的概念定義2我們把絕對(duì)誤差與準(zhǔn)確值之比εr(x)=ε(x)/x=(x－x*)/x，x≠0稱為x*的相對(duì)誤差。由于準(zhǔn)確值x往往是不知道的，因此在實(shí)際問題中，當(dāng)

14、εr(x)

15、較小時(shí)，常取εr(x)=ε(x)/x*一般地，在同一量或不同量的幾個(gè)近似值中，

16、εr(x)

17、小者精確度高。相對(duì)誤差