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1、FundamentalsofMathematicalStatistics數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)黃卓整理定義總體Population我們感興趣的隨機(jī)變量的分布定義參數(shù)Parameter由于總體分布是未知的，我們往往用含有參數(shù)的分布來(lái)表示，f(y;θ)。如以μ為均值，?2為方差的正態(tài)分布。其中μ和?2就是參數(shù)。注意：參數(shù)不是隨機(jī)變量，是一個(gè)（未知）常數(shù)。定義抽樣Sampling樣本Sample注意：1.來(lái)自同一分布2.獨(dú)立定義統(tǒng)計(jì)量Statisticsn個(gè)樣本點(diǎn)的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。注意，統(tǒng)計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量?？梢杂?jì)算統(tǒng)計(jì)量的均值、方差。定義樣本均值SampleMea
2、n1??=∑??是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。??2顯然?(??)=?，???(??)=?定義樣本方差SampleVariance定義估計(jì)量和估計(jì)值用來(lái)估計(jì)總體未知參數(shù)用的統(tǒng)計(jì)量。注意，估計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量。當(dāng)具體實(shí)現(xiàn)的數(shù)值(就是樣本值確定后)代入估計(jì)量時(shí)，它就是一個(gè)具體的數(shù)值，稱為估計(jì)值。注意：因?yàn)楣烙?jì)量也是一個(gè)隨進(jìn)變量，我們就可以討論它的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。因?yàn)楣烙?jì)量是樣本的函數(shù)，所以估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)通常稱為抽樣分布性質(zhì)（samplingdistribution）。定義無(wú)偏估計(jì)UnbiasedEstimator.定義偏差BiasofanEstimator.定義估計(jì)量的方差
3、The（sampling）varianceofestimators定義有效性Efficiency定義均方誤差MeanSquareError（MSE）常用的三種估計(jì)方法1.矩法MethodofMoment基本想法：用樣本矩來(lái)估計(jì)總體分布的矩2.最小二乘法選擇一個(gè)統(tǒng)計(jì)量m，最小化均方誤差得到：m=Y?3.極大似然估計(jì)MaximumLikelihoodEstimator（略去）定義估計(jì)量的大樣本性質(zhì)AsymptoticorLargerSamplePropertiesofEstimators當(dāng)樣本數(shù)趨向于正無(wú)窮大時(shí)，估計(jì)量的分布性質(zhì)。定義一致性Consiste
4、ncy概率極限probabilitylimit定理大數(shù)定律Lawoflargenumber（LLN）性質(zhì)概率極限的連續(xù)性性質(zhì)概率極限的運(yùn)算定義漸進(jìn)正態(tài)性AsymptoticNormality.定義中心極限定理Thecentrallimittheorem(CLT)alsohasanapproximatestandardnormaldistributionforlargen.Theexact(finitesample)distributionsof(C.12)and(C.13)aredefinitelynotthesame,butthedifference
5、isoftensmallenoughtobeignoredforlargen.定義區(qū)間估計(jì)IntervalEstimation找到一個(gè)隨機(jī)區(qū)間（通常其上下界由估計(jì)量決定），這個(gè)隨機(jī)區(qū)間蓋住未知參數(shù)的概率是某個(gè)實(shí)現(xiàn)給定的常數(shù)?，如95%。這個(gè)隨機(jī)區(qū)間稱為以?為置信度的置信區(qū)間（ConfidenceInterval）。例子：假設(shè)總體Y均值未知，方差為1.C.19是未知均值的置信區(qū)間，而C.18是這個(gè)置信區(qū)間的某個(gè)具體的實(shí)現(xiàn)值。方法正態(tài)分布均值的置信區(qū)間ConfidenceIntervalsfortheMeanfromaNormallyDistributed
6、Population現(xiàn)在定義常數(shù)c是的一般情形下：我們可以定義??的標(biāo)準(zhǔn)誤差（standarderror）記作se(??)=s/√?.近似原則，當(dāng)樣本點(diǎn)比較大的時(shí)候，c接近2（1.96）.假設(shè)檢驗(yàn)HypothesisTesting定義假設(shè)Hypothesis既關(guān)于參數(shù)的限制例子定義零假設(shè)（NullHypothesis），又稱原假設(shè)，指進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)時(shí)預(yù)先建立的假設(shè)，也是我們要檢驗(yàn)的假設(shè)。零假設(shè)成立時(shí)，有關(guān)統(tǒng)計(jì)量一般服從已知的某種概率分布。備擇假設(shè)，對(duì)立假設(shè)（Alternativehypothesis）與零假設(shè)相對(duì)的。定義第一類錯(cuò)誤TypeOneError
7、Theright-handsideisreadas:“TheprobabilityofrejectingH0giventhatH0istrue.”拒絕一個(gè)正確的假設(shè)的概率。注意：第一類錯(cuò)誤時(shí)我們比較關(guān)心的錯(cuò)誤，所以希望量化它，來(lái)控制它的大小。定義顯著水平SignificanceLevel事先選定的第一類錯(cuò)誤的概率水平。如5%、1%。定義第二類錯(cuò)誤TypetwoError接受一個(gè)錯(cuò)誤的假設(shè)的概率。假設(shè)檢驗(yàn)流程1.確定原假設(shè)、備擇假設(shè)2.事先設(shè)定好顯著水平，如5%3.設(shè)計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量T4.構(gòu)造一個(gè)接受域（接受區(qū)間AcceptanceInterval）接受域的
8、補(bǔ)集稱為拒絕域或拒絕區(qū)間（RejectionInterval）使得此檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率正好
