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1、二、可微的條件一、全微分的概念多元函數(shù)的全微分方向?qū)?shù)與梯度第三節(jié)第十一章三、方向?qū)?shù)和梯度一元函數(shù)y=f(x)：（當一元函數(shù)y=f(x)可導時）二元函數(shù)z=f(x,y)：函數(shù)的微分一、全微分的概念1.問題的提出在點(x,y)的全增量問題的線性函數(shù)來近似代替函數(shù)的全增量？可否用自變量的增量若z=f(x,y)在點(x,y)處的全增量可表示成其中A,B不依賴于?x,?y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(x,y)的全微分,記作則稱函數(shù)f(x,y)在點(x,y)可微，2.全微分的定義定義11.51°若函數(shù)在域D內(nèi)各點都可微,則稱此函數(shù)2°由定義可知,f(x
2、,y)在點(x,y)可微的充要條件是:在D內(nèi)可微.注定理11.1(多元函數(shù)可微的必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微,則(2)函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的兩個偏導數(shù)存在,且有(1)函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)連續(xù);從而二、可微的條件1.可微與連續(xù)、可導的關(guān)系1°習慣上把自變量的增量用微分表示,因此有注全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)2°可微與連續(xù)、可導的關(guān)系(二元以上的函數(shù))可微連續(xù)可導例1.討論(1)連續(xù)性；(2)可導性；(3)可微性.解(1)(2)(3)例2.討論函數(shù)(1)連續(xù)性；(2)可導性；(3)可微性.
3、解(1)=0=f(0,0)(2)2.可微與偏導數(shù)連續(xù)的關(guān)系定理11.2(多元函數(shù)可微的充分條件)若函數(shù)的偏導數(shù)則函數(shù)f(x,y)在該點可微.偏導數(shù)連續(xù)可微例3解例4計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.解:例5.計算函數(shù)的全微分.解:求函數(shù)時的全增量和全微分.解例6從而當x=2,y=1,△x=0.01,△y=-0.03時可知當全微分在近似計算中的應用1.利用近似公式作計算由全微分定義較小時,及有近似等式:(用于誤差分析)(用于近似計算)三、方向?qū)?shù)１.方向?qū)?shù)的定義設(shè)l是xoy平面上以是與l同方向的為始點的定義11.6單位向量.函數(shù)z=f(x,y)在
4、點P0(x0,y0)的某個鄰域一條射線，內(nèi)有定義，為l上另一點，且射線l的參數(shù)方程為??存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在點P0沿方向l方向?qū)?shù)，記作即2o方向?qū)?shù)的幾何意義過點P0沿l作垂直于xoy面的平面，面與曲面z=f(x,y)的交線在曲面上相應點M處的切線(若存在)關(guān)于l方向的斜率:該平l?Tlz=f(x,y)2.方向?qū)?shù)的計算定理11.3且有則函數(shù)在該點沿任一方向的方向?qū)?shù)存在,?解例7方向?qū)?shù)概念可推廣到三元函數(shù)：指向B(3,－2,2)方向的方向?qū)?shù)是.在點A(1,0,1)處沿點A例8.函數(shù)解x軸方向夾角為?的射線l方向的方向?qū)?shù).
5、并問:在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)(1)取得最大值;(2)取得最小值;(3)等于零？解由方向?qū)?shù)的計算公式知例9求函數(shù)在點P(1,1)沿與故方向?qū)?shù)達到最小值方向?qū)?shù)達到最大值四、梯度從例9看到,到最大值函數(shù)在點P沿哪一方向增加的速度最快？zoPxy?=5?/4觀察向量：恰好與同方向，最大.這是巧合嗎？不是！1.定義11.7設(shè)二元函數(shù)為函數(shù)z=f(x,y)在點P處的梯度記作(gradient),在點具有偏導數(shù)，稱向量例10函數(shù)在點處的梯度解:則注意x,y,z具有輪換對稱性2.梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系1o沿梯度相反方向，方向：f變化率最大的方向模:f的最大
6、變化率之值2o梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)類似于二元函數(shù)，此梯度也有上述性質(zhì).3.梯度的基本運算公式稱為函數(shù)4.梯度的幾何意義(1)等高線z=f(x,y)的等高(值)線.xyzoL*xyoxyzoz=c2z=c1f(x,y)=c1f(x,y)=c2(2)等高線上的法向量與梯度的關(guān)系等高線梯度為等高線上的一個法向量，其指向為：從數(shù)值較底的等高線到數(shù)值較高的等高線.例11證試證處矢徑r的模,例12解內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:偏導數(shù)存在函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)3.方向?qū)?shù)?三元函數(shù)在點沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為?二元函數(shù)在點的方向?qū)?shù)為沿
7、方向l(方向角為4.梯度?三元函數(shù)在點處的梯度為?二元函數(shù)在點處的梯度為5.關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導數(shù)存在??可微梯度在方向l上的投影.思考與練習函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時是無窮小量;時是無窮小量.1.選擇題2.設(shè)解:利用輪換對稱性,可得注意:x,y,z具有輪換對稱性3.求函數(shù)在點P(2,3)沿曲線朝x增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點P的切向量為可知當*二、全微分在近似計算中的應用1.利用近似公式作計算由全微分定義較小時,及有近似等式:(用于誤差分析)(用于近似計算)半徑由20cm增大解:已知即受壓后圓柱體體
8、積減少了例1.有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到20.05cm,則高度由100cm減少到99cm,體積的近似改變量.求此圓柱體例2.計算的近似
