2012屆高三數(shù)學(xué)附加題訓(xùn)練

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1、2012屆高三數(shù)學(xué)附加題訓(xùn)練（蘇錫常鎮(zhèn)四市2012屆3月）二階矩陣對應(yīng)的變換將點與分別變換為點與，設(shè)直線在變換作用下得到了直線，求直線的方程答案要點：設(shè)，則，所以，，解得所以因為，且，所以即，所以直線的方程為選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22．（本小題滿分10分）如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，動點在直線上運動，過作拋物線的兩條切線、，且與拋物線分別相切于、兩點.求的重心的軌跡方程.答案要點：設(shè)切點、坐標(biāo)分別為，∴切線的方程為：OABPF　切線的方程為：答案要點得點的坐標(biāo)為：所以的重心的坐標(biāo)為，所以，由點在直線上運動，從而得到重心的軌跡方程為：．23.（本小題滿分10分）如

2、圖所示，某城市有南北街道和東西街道各條，一郵遞員從該城市西北角的郵局出發(fā)，送信到東南ABC角地，要求所走路程最短.求該郵遞員途徑C地的概率答案要點：郵遞員從該城市西北角的郵局A到達(dá)東南角B地，要求所走路程最短共有種不同的走法，其中途徑C地的走法有種走法，所以郵遞員途徑C地的概率。22.（本小題滿分10分）（第4題）BACA1B1C1如圖，在三棱柱中，，頂點在底面上的射影恰為點B，且．（1）求棱與BC所成的角的大?。唬?）在棱上確定一點P，使，并求出二面角的平面角的余弦值．答案要點（1）如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，，．，故與棱BC所成的角是．BACA1B1

3、C1zxyP（2）設(shè)，則．于是（舍去），則P為棱的中點，其坐標(biāo)為．設(shè)平面的法向量為n1，則故n1．而平面的法向量是n2=(1,0,0)，則，故二面角的平面角的余弦值是．23.（本小題滿分10分）已知拋物線的焦點為，直線過點.（1）若點到直線的距離為，求直線的斜率；（4分）（2）設(shè)為拋物線上兩點，且不與軸垂直，若線段的垂直平分線恰過點，求證：線段中點的橫坐標(biāo)為定值.（6分）答案要點（1）由已知，不合題意.設(shè)直線的方程為，由已知，拋物線的焦點坐標(biāo)為，因為點到直線的距離為，所以，答案要點得，所以直線的斜率為.（2）設(shè)線段中點的坐標(biāo)為，，因為不垂直于軸，則直線的斜率為，直線

4、的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立方程消去得，所以，因為為中點，所以，即，所以.即線段中點的橫坐標(biāo)為定值.已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰為的中點，又知．（I）求證：平面；（II）求到平面的距離；思維導(dǎo)圖：//平面到平面的距離到平面的距離答案要點：（I）如圖，取的中點，則，因為，所以，又平面，以為軸建立空間坐標(biāo)系，則，，，，，，，，由，知，又，從而平面；（II）由，得．設(shè)平面的法向量為，，，所以，設(shè)，則所以點到平面的距離．第23題已知,,若對任意,都有,試求的取值范圍.答案要點:設(shè),則對任意,都有,即,因為,當(dāng)時,；當(dāng)時,；所以在上時增函數(shù),在上時減函數(shù),所以,所以,即

5、時,,故的取值范圍是.第23題已知,其中,為常數(shù),(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時,證明:對任意的正整數(shù),當(dāng)時,.答案要點:(1)由已知得函數(shù)的定義域為,當(dāng)時,,所以,(i)當(dāng)時,由得,,此時,當(dāng)時,,單調(diào)遞減；當(dāng)時,,單調(diào)遞增；(ii)當(dāng)時,恒成立,所以無極值.綜上有,時,當(dāng)時,在處取得極小值；當(dāng)時,無極值.(2)方法一:由有.當(dāng)為偶數(shù)時,,則,所以當(dāng)時,單調(diào)遞增,而,因此恒成立,所以成立.當(dāng)為奇數(shù)時,欲證.由于,所以只需證,令,則,所以當(dāng)時,單調(diào)遞增,而,所以當(dāng)時,恒有,即成立,綜上所述,結(jié)論成立.方法二:當(dāng)時,.當(dāng)時,對任意的正整數(shù),恒有.故只需證,令()

6、,則,當(dāng)時,,故在上單調(diào)遞增,因此當(dāng)時,,即成立.故,因此當(dāng)時,有,即.第22題、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式:.答案要點:(1)當(dāng)時,左==右,等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)時,等式成立,即.則.所以當(dāng)時,等式也成立.綜合(1)、(2),等式對所有正整數(shù)都成立.第23題已知等式,其中()為實常數(shù),求:(1)的值；(2)的值．答案要點:(1)令,得；令,得.故．(2)等式兩邊對求導(dǎo),得．在中,令,整理得．選修4-2：矩陣與變換利用逆矩陣解方程組答案要點：原方程組可以寫成，記M=，其行列式，∴，即方程組的解為.第22題、用數(shù)學(xué)歸納法證明下述不等式:.答案要點:(1)當(dāng)時,左邊,右邊,

7、所以此時不等式正確；(2)假設(shè)當(dāng)不等式正確,即,所以當(dāng)時,所以當(dāng)時,.法一:分析法要證,只需證..因為顯然成立,所以.法二:綜合法(放縮法)因為,所以.法三:綜合法(基本不等式法)因為,所以.故,所以當(dāng)時,故當(dāng)時不等式也正確.綜合(1)、(2),知對,不等式都正確.選修4-2：矩陣與變換設(shè)是把坐標(biāo)平面上的點的橫坐標(biāo)伸長到倍，縱坐標(biāo)伸長到倍的伸壓變換．求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程．答案要點：，橢圓在的作用下的新曲線的方程為【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第22題、