八十八隊數(shù)模A題

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1、“工大出版社杯”第十六屆西北工業(yè)大學數(shù)學建模競賽暨全國大學生數(shù)學建模競賽選拔賽題目A題密封號2015年5月4日剪切線密封號2015年5月4日自動化學院第八十八隊隊員1隊員2隊員3姓名宋亞龍李浩男張建紅班級09021403090214031002140112目錄摘要…………………………………………2模型分析……………………………………3模型假設……………………………………3模型參數(shù)的假設……………………………3模型建立……………………………………3模型的求解…………………………………812電阻率數(shù)據(jù)插值加密及成像問題摘要實際中一個形狀不規(guī)則，質(zhì)量和密度不均勻物體內(nèi)部和表

2、面的每一個點的電阻率很難或不能實際測量，這對我們研究物理問題形成了阻礙，為了解決顯示的物理問題，我們必須知道或估測出很接近的某一點的電阻率數(shù)值，因此，本題意欲通過數(shù)學建模求出特定點的電阻率數(shù)值，并且證明插值后的極值在同一個位置求得，進而求得加密后的每一點電阻率數(shù)據(jù)和原網(wǎng)格及其加密后網(wǎng)格的平均值和標準差并對兩種算法進行評估，然后對加密后的進行顏色圖示表示，觀察與原圖的對比，最后對兩種方法的效果進行定量表示。第一問建立三次線性插值模型和反加權插值模型計算出定點的電阻率數(shù)值，然后通過數(shù)學證明得到極值點未發(fā)生移動。第二問運用matlab軟件進行插值擬合，將步距由10調(diào)成1，借

3、助計算機求得與原數(shù)據(jù)每一個點對應的電阻率數(shù)值，并進而求得插值前后的平均值和標準差，以及進行評估。第三問運用matlab進行繪圖，并分別令z=0和50,得到平面二維的顏色圖示，直觀地看出電阻率在整個物體以及一個界面上變化情況。第四問建立結果和定值的關系，定量的分析這兩個加密方法的優(yōu)缺。關鍵字：MATLAB軟件數(shù)據(jù)插值曲線插值擬合三維模型插值法顏色圖示12一模型分析1．問題背景物體的電阻是一個很常用的物理量，有很大的運用價值，尤其是在物理學中，它涉及到很多方面，因此知道物體的電阻率很重要，但是實際物體通常呈現(xiàn)不規(guī)則形裝和不均勻的質(zhì)量和密度，導致我們很難知道整個物體各個地方

4、的電阻率，因此迫切地需要一種辦法來計算出物體各個地方的電阻率，此題便是基于這個問題所提出來的。2.問題分析對于問題一，用附件中給出的數(shù)據(jù)，用matlab插值法建立三維模型，對于問題二，基于問題一給出的兩種方法，在matlab里計算出網(wǎng)格大小為1*1*1時的電阻率數(shù)據(jù)，再用均值法計算出加密前后的平均值和標準差。對于問題三，在matlab中畫出z為定值時的三維立體圖像并著色。而對于問題四，定量的比較出兩種方法的效果，并做評估。二模型假設（1）物體的外部形狀不隨時間的變化而變化。（2）電阻率不隨時間和溫度等外界因素變化而變化。（3）取樣點的數(shù)據(jù)較好地反映了該物體的電阻率。（

5、4）測量的個別數(shù)據(jù)對整體沒有影響。（5）物體內(nèi)部的電阻率連續(xù)變化。三模型參數(shù)的假設x表示物體內(nèi)部待求點的橫坐標y表示物體內(nèi)部待求點的縱坐標z表示物體內(nèi)部待求點的豎坐標ρ表示物體內(nèi)部待求點處的電阻率四模型建立在此對一維插值法做如下簡介：插值：求過已知有限個數(shù)據(jù)點的近似函數(shù)。擬合：已知有限個數(shù)據(jù)點，求近似函數(shù)，不要求過已知數(shù)據(jù)點，只要求在某種意義下它在這些點上的總偏差最小。（1）12插值和擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學方法上是完全不同的。而面對一個實際問題，究竟應該用插值還是擬合，有時容易確定，有時則并不明顯。插值方法：下面介紹

6、一種基本的、常用的插值：拉格朗日多項式插值拉格朗日多項式插值插值多項式用多項式作為研究插值的工具，稱為代數(shù)插值。其基本問題是：已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上n+1個不同點x0,x1,…,xn處的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,…,n)，求一個至多n次多項式φn(x)=a0+a1x+…+anxn(1)使其在給定點處與f(x)同值，即滿足插值條件φn(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,…n)(2)稱為插值多項式，xi(i=0,1…,n)稱為插值節(jié)點，簡稱節(jié)點，[a,b]稱為插值區(qū)間。從幾何上看，n次多項式插值就是過n+1個點(xi,f(xi))(i=0,1,…

7、,n),作一條多項式曲線y=φn(x)近似曲線y=f(x).n次多項式（1）有n+1個待定系數(shù)，由插值條件（2）恰好給出n+1個方程a0+a1x0+a2x02+…+anx0n=y0a0+a1x1+a2x12+…+anx1n=y1………………………………..(3)a0+a1xn+a2xn2+…+anxnn=yn記此方程組的系數(shù)矩陣為A，則1x0x02…x0n1x1x12…x1ndet(A)=1x2x22…x2n………………1xnxn2…xnn是范德蒙特(Vandermonde)行列式。當x0,x1,…,xn互不相同時，此行列式值不為零。因此方程組（3）