多元函數(shù)極值與最值

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1、§7—5多元函數(shù)的極值與最值本節(jié)學(xué)習(xí)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之極值和最值的求法一．多元函數(shù)的極值與最大(小)值1.定義：設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在∪[(x0，y0)]有定義，若?(x,y)∈∪[(x0，y0)];(x,y)≠(x0，y0)都有f(x,y)f(x0，y0)]則稱函數(shù)在(x0，y0)有極大(小)值f(x0，y0)(x0，y0)——極值點(diǎn)極大和極小值統(tǒng)稱為極值。例如⑴z=3x2+4y2在(0，0)有極小值⑵在(0,0)有極大值⑶在(0，0)既不取得極大值也不取得極小值oxyzoxyz[注記]：二元函數(shù)極值的定義可以推廣到元函數(shù)的情形。2．極值的必要條件定理1：對于

2、函數(shù)z=f(x,y)，若①在點(diǎn)(x0,y0),f?x,f?y存在;②(x0,y0)是極值點(diǎn)則F?x(x0,y0)=0f?y(x0,y0)=0證明：不妨設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)有極大值則當(dāng)點(diǎn)(x,y)∈∪[(x0,y0)],(x,y)≠(x0,y0)時有f(x,y)

3、件，但并非充分條件。換言之，z=f(x,y)在極值點(diǎn)處不一定存在偏導(dǎo)數(shù)②駐點(diǎn)（穩(wěn)定點(diǎn)）：若f?x(x0,y0)=f?y(x0,y0)=0，則(x0,y0)點(diǎn)稱為駐點(diǎn)（穩(wěn)定點(diǎn)）。[注記]：③函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，但具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)（偏導(dǎo)數(shù)存在）一定是駐點(diǎn)。即：使偏導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，但極值點(diǎn)一定使偏導(dǎo)數(shù)為零。④定理說明(幾何意義)曲面z=f(x,y)在極值點(diǎn)處的切平面∥xoy面，切平面z=z0。⑤定理可以推廣到三元函數(shù)等情形。3.極值的充分條件定理2設(shè)函數(shù)z=f(x,y)①②③則●●●●注意4．極值的求法具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)的極值的求法：①求的一切實(shí)數(shù)解，

4、即所有駐點(diǎn)；②對于一切駐點(diǎn)，求出各二階偏導(dǎo)數(shù)的值③按定理2的結(jié)論，即P292表判定各駐點(diǎn)是否極值點(diǎn)。[一般地，還應(yīng)考慮偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)！]例1設(shè)是常數(shù)，求z的極值。解：①解方程組得實(shí)數(shù)解為②對駐點(diǎn)(a,b)有所以點(diǎn)(a,b)是極大值點(diǎn)，極值為對駐點(diǎn)(0,0)有所以點(diǎn)(0,0)不是極值點(diǎn)。對駐點(diǎn)(0,2b)5.二元函數(shù)的最大（小）值（1）求最大（?。┲档囊话惴椒ǎ涸O(shè)z=f(x,y)∈C(0)(D)，且在域D內(nèi)可微，有有限個駐點(diǎn)。（D為有界閉區(qū)域）①求所有駐點(diǎn):②求在D的邊界上的最大值點(diǎn)(xM,yM)和最小值點(diǎn)(xm,ym)；③求最大值最小值（2）對于實(shí)際問題求最大（?。┲档姆椒á俑鶕?jù)實(shí)際問題建

5、立函數(shù)關(guān)系z=f(x,y)，并確定定義域D；②解得在D內(nèi)的一個駐點(diǎn)；③得出問題的解答。例2某企業(yè)生產(chǎn)兩種商品的產(chǎn)量分別為x單位和y單位，利潤函數(shù)為L=64x-2x2+4xy-4y2+32y-14，求最大利潤。解：(x0,y0)=(40,24)為極大值點(diǎn)，就是最大值點(diǎn)。二.條件極值——Lagrange乘數(shù)法1.無條件極值和條件極值無條件極值：無附加條件的函數(shù)在定義域內(nèi)的極值問題。條件極值：對函數(shù)的自變量除要求在定義域內(nèi)之外，還有附加條件的極值問題。如：求表面積為a2而體積最大的長方體的體積及長寬高的問題;又如：求函數(shù)的滿足條件y=b的極大值問題。2．求條件極值的方法（1）代入法：將條件代入函數(shù)

6、，化為無條件極值問題來解。（這對于一類其條件的表達(dá)形式較簡單的問題，是方便的）（2）Lagrange乘數(shù)法：構(gòu)造輔助函數(shù)，化為無條件極值問題。Lagrange乘數(shù)法求z=f(x,y)在滿足條件?(x,y)=0時的極值，方法為：步驟Ⅰ構(gòu)造函數(shù)（?為待定常數(shù)）步驟Ⅱ解方程組求出實(shí)數(shù)解(x0,y0)和?;步驟Ⅲ判別求出的點(diǎn)(x0,y0)是否為極值點(diǎn)(通常由實(shí)際問題的實(shí)際意義判定)，并求出極值z0=f(x0,y0)[注記]：以上方法步驟，也適用于三元以上的多元函數(shù)，以及多個條件的情形。例4求定點(diǎn)（x0,y0)到直ax+by+c=0的最短距離，其中a、b是不同時為零的常數(shù)。解：直線上到定點(diǎn)(x0,y0)

7、的距離d最短的點(diǎn)(x，y)，也就是使該距離的平方d2最小的點(diǎn)。而d2=(x-x0)2+(y-y0)2(d>0)且點(diǎn)(x,y)滿足ax+by+c=0，因此，問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)d2在條件ax+by+c=0下的最小值點(diǎn)對應(yīng)于的函數(shù)值。作Lagrange函數(shù):對x、y、求偏導(dǎo)數(shù)，可得最小值點(diǎn)滿足的方程：續(xù)解（例4）由式（1）?由式（2）?由式（3）?將?分別代入得（4）續(xù)解（例4）定點(diǎn)(x0,y0)到直線必有