多元函數極值與最值

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1、§7—5多元函數的極值與最值本節(jié)學習偏導數的應用之極值和最值的求法一．多元函數的極值與最大(小)值1.定義：設函數z=f(x,y)在∪[(x0，y0)]有定義，若?(x,y)∈∪[(x0，y0)];(x,y)≠(x0，y0)都有f(x,y)f(x0，y0)]則稱函數在(x0，y0)有極大(小)值f(x0，y0)(x0，y0)——極值點極大和極小值統稱為極值。例如⑴z=3x2+4y2在(0，0)有極小值⑵在(0,0)有極大值⑶在(0，0)既不取得極大值也不取得極小值oxyzoxyz[注記]：二元函數極值的定義可以推廣到元函數的情形。2．極值的必要條件定理1：對于

2、函數z=f(x,y)，若①在點(x0,y0),f?x,f?y存在;②(x0,y0)是極值點則F?x(x0,y0)=0f?y(x0,y0)=0證明：不妨設z=f(x,y)在點(x0,y0)有極大值則當點(x,y)∈∪[(x0,y0)],(x,y)≠(x0,y0)時有f(x,y)

3、件，但并非充分條件。換言之，z=f(x,y)在極值點處不一定存在偏導數②駐點（穩(wěn)定點）：若f?x(x0,y0)=f?y(x0,y0)=0，則(x0,y0)點稱為駐點（穩(wěn)定點）。[注記]：③函數的駐點不一定是極值點，但具有偏導數的函數的極值點（偏導數存在）一定是駐點。即：使偏導數為0的點不一定是極值點，但極值點一定使偏導數為零。④定理說明(幾何意義)曲面z=f(x,y)在極值點處的切平面∥xoy面，切平面z=z0。⑤定理可以推廣到三元函數等情形。3.極值的充分條件定理2設函數z=f(x,y)①②③則●●●●注意4．極值的求法具有二階連續(xù)偏導數的函數z=f(x,y)的極值的求法：①求的一切實數解，

4、即所有駐點；②對于一切駐點，求出各二階偏導數的值③按定理2的結論，即P292表判定各駐點是否極值點。[一般地，還應考慮偏導數不存在的點！]例1設是常數，求z的極值。解：①解方程組得實數解為②對駐點(a,b)有所以點(a,b)是極大值點，極值為對駐點(0,0)有所以點(0,0)不是極值點。對駐點(0,2b)5.二元函數的最大（?。┲担?）求最大（?。┲档囊话惴椒ǎ涸Oz=f(x,y)∈C(0)(D)，且在域D內可微，有有限個駐點。（D為有界閉區(qū)域）①求所有駐點:②求在D的邊界上的最大值點(xM,yM)和最小值點(xm,ym)；③求最大值最小值（2）對于實際問題求最大（?。┲档姆椒á俑鶕嶋H問題建

5、立函數關系z=f(x,y)，并確定定義域D；②解得在D內的一個駐點；③得出問題的解答。例2某企業(yè)生產兩種商品的產量分別為x單位和y單位，利潤函數為L=64x-2x2+4xy-4y2+32y-14，求最大利潤。解：(x0,y0)=(40,24)為極大值點，就是最大值點。二.條件極值——Lagrange乘數法1.無條件極值和條件極值無條件極值：無附加條件的函數在定義域內的極值問題。條件極值：對函數的自變量除要求在定義域內之外，還有附加條件的極值問題。如：求表面積為a2而體積最大的長方體的體積及長寬高的問題;又如：求函數的滿足條件y=b的極大值問題。2．求條件極值的方法（1）代入法：將條件代入函數

6、，化為無條件極值問題來解。（這對于一類其條件的表達形式較簡單的問題，是方便的）（2）Lagrange乘數法：構造輔助函數，化為無條件極值問題。Lagrange乘數法求z=f(x,y)在滿足條件?(x,y)=0時的極值，方法為：步驟Ⅰ構造函數（?為待定常數）步驟Ⅱ解方程組求出實數解(x0,y0)和?;步驟Ⅲ判別求出的點(x0,y0)是否為極值點(通常由實際問題的實際意義判定)，并求出極值z0=f(x0,y0)[注記]：以上方法步驟，也適用于三元以上的多元函數，以及多個條件的情形。例4求定點（x0,y0)到直ax+by+c=0的最短距離，其中a、b是不同時為零的常數。解：直線上到定點(x0,y0)

7、的距離d最短的點(x，y)，也就是使該距離的平方d2最小的點。而d2=(x-x0)2+(y-y0)2(d>0)且點(x,y)滿足ax+by+c=0，因此，問題轉化求函數d2在條件ax+by+c=0下的最小值點對應于的函數值。作Lagrange函數:對x、y、求偏導數，可得最小值點滿足的方程：續(xù)解（例4）由式（1）?由式（2）?由式（3）?將?分別代入得（4）續(xù)解（例4）定點(x0,y0)到直線必有