定積分的概念62定積分應(yīng)用

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1、6.1定積分的概念第6章定積分及其應(yīng)用二.定積分的定義一.曲邊梯形的面積三.定積分的性質(zhì)6.1定積分的概念在我國古代南北朝（公元429—500年）時，南朝的科學(xué)家祖沖之運用逐漸增加圓內(nèi)多邊形的邊數(shù)，算出正多邊形的面積，逼近相應(yīng)的圓的面積，得到了π近似值.在初等幾何中，計算任意多邊形面積時，常采用如下方法：首先將任意多邊形劃分為若干個小三角形，分別計算各個三角形的面積，然后求和，得到任意多邊形的面積。阿基米德運用這種方法，求得拋物線與x軸及直線x=1所圍成的平面圖形面積的近似值.就是說，在計算復(fù)雜圖形的面積時，可以先將它劃分為若干個容易算得面積

2、的小塊，并分別求出各小塊圖形的面積，然后求和，即得到原圖形的面積的近似值（邊界線為直線時，可得精確值）.如果在上述方法中引入極限過程,會產(chǎn)生什么效果?6.1.1曲邊梯形的面積曲邊梯形：三邊為直線，其中有兩邊相互平行且與第三邊垂直（底邊），第四邊是一條曲線，它與垂直于底邊的直線至多有一個交點（這里不排除某直線縮成一點）.1.曲邊梯形2.求曲邊梯形的面積首先，我們重復(fù)阿基米德的做法：分劃—代替—求和得到曲邊梯形的近似值，然后，引入極限過程，求出曲邊梯形的精確值.第一步：分劃任意引入分點稱為區(qū)間的一個分法T第二步：代替對每個小曲邊梯形均作上述的代替

3、第三步：求和第四步：取極限6.1.2定積分的定義任意引入分點定積分符號：關(guān)于定積分定義的幾點說明例6.1.1解所以定理16.1.3定積分存在的條件定理2定理3定理46.1.4定積分的幾何意義由極限保號性：面積：例6.1.2（見教材）6.2定積分的性質(zhì)由于定積分是一種和式的極限,所以極限的某些性質(zhì)在定積分中將有所反映.在以下的敘述中,假設(shè)所出現(xiàn)的函數(shù)均可積,所出現(xiàn)的定積分均存在.證由定積分定義及極限運算性質(zhì)：可以推廣至有限個可積函數(shù)的情形.證證(小于零的情形類似.)由極限的保號性立即可知.代數(shù)和例1證//有什么結(jié)論？換成例2證/與性質(zhì)3的推論1

4、不同，這里的結(jié)論是嚴(yán)格不等號！證所以例4證例6.2.2解而所以例6.2.3解證例5解由積分中值定理