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《無(wú)窮小量、無(wú)窮大量、階的比較》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、微積分講課提綱微積分（I）浙江大學(xué)理學(xué)院講課人：朱靜芬E_mail:jfzhu@zju.edu.cn第三節(jié)函數(shù)極限一、函數(shù)極限的概念二、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限存在的準(zhǔn)則五、兩個(gè)重要極限四、無(wú)窮小量、無(wú)窮大量、階的比較一、無(wú)窮小語(yǔ)言表述當(dāng)時(shí),有則例如,（4）不能說(shuō)函數(shù)是無(wú)窮小,應(yīng)該說(shuō)在什么情況下的無(wú)窮小.即指出自變量的變化過(guò)程.（5)同樣有時(shí)無(wú)窮小.注意:（1）無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).（3）此概念對(duì)數(shù)列極限也適用.若,稱(chēng)數(shù)列為的無(wú)窮小。有界量與無(wú)界量若存在的某空心鄰域，使f(x)在內(nèi)有界，
2、則稱(chēng)f(x)當(dāng)時(shí)是有界量。對(duì)無(wú)論多么小的某空心鄰域，任給M>0，存在x’,使
3、f(x’)
4、>M，稱(chēng)f(x)當(dāng)時(shí)是無(wú)界量。定義：定義：2、無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:意義（1）將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);3、無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理2在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.證注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.定理3有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.證推論1在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.例如,注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的乘積未必是無(wú)窮小.例
5、如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.觀(guān)察各極限不可比.不存在.二、無(wú)窮小的比較定義:例如，例：證明證必要性充分性三、無(wú)窮大注意（1）無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;不是無(wú)窮大．無(wú)界，無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.證2、無(wú)窮大的運(yùn)算性質(zhì)(2)在某極限過(guò)程中,無(wú)窮大量與有界量之和仍為無(wú)窮大量.(3)在某極限過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮大量之積仍是一個(gè)無(wú)窮大量.不是無(wú)窮大量是無(wú)窮大量考察有界量與無(wú)窮大量的乘積是否一定為無(wú)窮大量？考察無(wú)窮大量與有界量之積不一定是無(wú)窮大量.3、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理4在同一過(guò)程中,無(wú)
6、窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.證意義關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.解:(1)證明四、兩個(gè)重要極限例.求例.求推廣:例.求解.例.求解.例.求定義：例：求解原式例解定理(等價(jià)無(wú)窮量替換定理)證意義：在求函數(shù)極限時(shí)，分子、分母、中的因式可以用它們的簡(jiǎn)單的等價(jià)量來(lái)替換，以便進(jìn)行化簡(jiǎn)。但替換以后的函數(shù)極限要存在或?yàn)闊o(wú)窮大。注意：分子、分母中進(jìn)行加、減的項(xiàng)不能替換，應(yīng)分解因式，用因式來(lái)替換。例求解例求解例解不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.注意切記，只可對(duì)函數(shù)的因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別代換.解
7、：求例：例解解錯(cuò)連續(xù)兩次使用等價(jià)無(wú)窮小替代.等價(jià)無(wú)窮小替代例：解：例解
