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《曲線的凹凸性拐點與漸近線》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第五節(jié)曲線的凹凸性、拐點與漸近線一.曲線的凹凸性定義1直觀定義.注(1)凹凸(2)凹也稱上凹、下凸凸也稱上凸、下凹.定義2如果在某個區(qū)間內(nèi),曲線位于其上任一點切線的上方,則稱該曲線在這個區(qū)間內(nèi)是凹曲線;如果在某個區(qū)間內(nèi),曲線位于其上任一點切線的下方,則稱該曲線在這個區(qū)間內(nèi)是凸曲線;定義3如果對某區(qū)間內(nèi)任意兩點有則稱曲線為凹曲線;則稱曲線為凸曲線.如果對某區(qū)間內(nèi)任意兩點有如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則曲線在區(qū)間內(nèi)凹(凸)導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加(減少).證條件:,結(jié)論:曲線曲線:曲線上任一點處的切線:即只需證定理4.10單調(diào)增加,對只需證設(shè)所以故曲線為凹曲線.(條件:曲線結(jié)論
2、:)設(shè)是內(nèi)任意兩點曲線上過處的切線:曲線上過處的切線:因曲線故從而從而(1)式與(2)式相加得故從而單調(diào)增加.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),那么如果時,恒有則曲線在區(qū)間內(nèi)是凹曲線;如果時,恒有則曲線在區(qū)間內(nèi)是凸曲線.定理4.11例1討論曲線的凹凸性.解的定義域為令得補充:07年考研真題10分設(shè)函數(shù)由方程確定,試判斷曲線在點附近的凹凸性.解在點附近是凸的.利用凹凸性證明不等式例2試證明時,有(99年考題)證明所以曲線是凸的又故時即定義曲線凹與凸的分界點稱為曲線的拐點.如果為曲線的拐點,則必有或不存在.不存在注(1)一般來說圈中的點為有限多個.(2)拐點是曲線上的點,表示拐
3、點要用兩個坐標(biāo).二.曲線的拐點拐點定理例3討論曲線拐點.解的定義域為令得拐點拐點例4討論曲線的凹凸性與拐點解的定義域為令得另不存在三.曲線的漸近線定義如果曲線上的動點沿著曲線無限地遠離原點時,點與某一固定直線的距離趨于零,則稱該直線為曲線的漸近線.1.水平漸近線2.垂直漸近線或鉛垂?jié)u近線3.斜漸近線漸近線1.水平漸近線是水平漸近線或或例5求曲線的水平漸近線.解因水平漸近線為2.垂直漸近線或鉛垂?jié)u近線是鉛垂?jié)u近線或是的間斷點例4求曲線的鉛垂?jié)u近線.解因鉛垂?jié)u近線為是的間斷點,且3.斜漸近線是斜漸近線或或設(shè)又故從而若則討論例6求曲線的斜漸近線.解是斜漸近線.是水平漸近線
4、或是鉛垂?jié)u近線或是的間斷點()或是斜漸近線漸近線總結(jié):練習(xí)求曲線的漸近線.解故無水平漸近線.(1)(2)故有垂直漸近線故斜漸近線為(3)練習(xí)求曲線的漸近線.解作業(yè)題習(xí)題四(A)29、30、31、32.
