泰勒級數(shù)和羅朗級數(shù)

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1、1.泰勒展開定理2.展開式的唯一性3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式§4.3泰勒(Taylor)級數(shù)一.泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達?(或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)?）由§4.2冪級數(shù)的性質(zhì)知:一個冪級數(shù)的和函數(shù)一定是一個解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示。定理（泰勒展開定理）二.展開式的唯一性定理解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級數(shù)。利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣的展開式是否唯一

2、？---直接法---間接法代公式由展開式的唯一性，利用一些已知函數(shù)的展開式，運用級數(shù)的代數(shù)運算、分析運算等函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：三.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式例1解上述求sinz,cosz展開式的方法即為間接法.例2把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù):解(2)由冪級數(shù)逐項求導性質(zhì)得：§4.4羅朗(Laurent)級數(shù)1.羅朗級數(shù)2.函數(shù)展開成羅朗級數(shù)3.如何展開成羅朗級數(shù)本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計算

3、留數(shù)的基礎(chǔ)?！?羅朗級數(shù)一個以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z),可以在該圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù).如果f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級數(shù)來表示.但是這種情況在實際問題中卻經(jīng)常遇到.因此,在本節(jié)中將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級數(shù)表示法.討論下列形式的級數(shù):可將其分為兩部分考慮:羅朗級數(shù)只有非負冪項和負冪項都收斂才認為原級數(shù)收斂于它們的和.非負冪項是一冪級數(shù),設(shè)其收斂半徑為R2：這是z的冪級數(shù),設(shè)收斂半徑為R：對負冪項,如果令z=(z-z0)-1,

4、就得到：則當

5、z-z0

6、>R1時,即

7、z

8、

9、z-z0

10、

11、z-z0

12、

13、z-z0

14、

15、正,負冪項的級數(shù)是唯一的,這個級數(shù)就是f(z)的羅朗級數(shù).二.函數(shù)展開成羅朗級數(shù)（2）羅朗級數(shù)是唯一的,利用已知的函數(shù)的冪級數(shù)來展開的間接法。(1)在許多實際應用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點z0的鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成級數(shù)，那么就利用羅朗（Laurent）級數(shù)來展開。例3把函數(shù)[解]因有例4xyo12xyo12xyo12解:沒有奇點例5[解](1)根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把f(z)展成泰勒級數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成羅朗級數(shù)。(2)Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)的不同點

16、：Taylor級數(shù)先展開求R,找出收斂域。Laurent級數(shù)先求f(z)的奇點，然后以z0為中心，奇點為分隔點，找出z0到無窮遠點的所有使f(z)解析的環(huán)，在環(huán)域上展成級數(shù)。作業(yè)習題八、1、（選作兩個）2、3、