概率統(tǒng)計(jì)資料

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1、隨機(jī)事件和概率第一節(jié)基本概念1、排列組合初步（1）排列組合公式從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。(2)加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來(lái)完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由m+n種方法來(lái)完成。(3)乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由m×n種方法來(lái)完成。(4)一些常見(jiàn)排列①特殊排列相鄰彼此隔開順序一定和不可分辨②

2、重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）③對(duì)立事件④順序問(wèn)題2、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件及其運(yùn)算（1）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。（2）事件的關(guān)系與運(yùn)算①關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時(shí)有，，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差

3、，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。②運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：，3、概率的定義和性質(zhì)（1）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)

4、P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°對(duì)于兩兩互不相容的事件，，…有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。（2）古典概型（等可能概型）1°，2°。設(shè)任一事件，它是由組成的，則有P(A)==4、五大公式（加法、減法、乘法、全概、貝葉斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)（2）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=Ω時(shí)，P()=1-P(B)（3）條件

5、概率和乘法公式定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)乘法公式：更一般地，對(duì)事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，則有…………。（4）全概公式設(shè)事件滿足1°兩兩互不相容，，2°，則有。此公式即為全概率公式。（5）貝葉斯公式設(shè)事件，，…，及滿足1°，，…，兩兩互不相容，>0，1，2，…，，2°，，則，i=1，2，…n。此公式即為貝葉斯公式。，（，，…，

6、），通常叫先驗(yàn)概率。，（，，…，），通常稱為后驗(yàn)概率。如果我們把當(dāng)作觀察的“結(jié)果”，而，，…，理解為“原因”，則貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。5、事件的獨(dú)立性和伯努利試驗(yàn)（1）兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的（這個(gè)性質(zhì)不是想當(dāng)然成立的）。若事件、相互獨(dú)立，且，則有所以這與我們所理解的獨(dú)立性是一致的。若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。（證明）由定義，我們可知必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立。（證明）同時(shí)，?與任何事件都互斥。（2）多個(gè)事件的獨(dú)

7、立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。兩兩互斥→互相互斥。兩兩獨(dú)立→互相獨(dú)立？（3）伯努利試驗(yàn)定義我們作了次試驗(yàn)，且滿足u每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；u次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次

8、試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率，，。隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)基本概念在許多試驗(yàn)中，觀察的對(duì)象常常是一個(gè)隨同取值的量。例如擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，它本身就是一個(gè)數(shù)值，因此P(A)這個(gè)函數(shù)可以看作是普通函數(shù)（定義域和值域都是數(shù)字，數(shù)字到數(shù)字）。但是觀察硬幣出現(xiàn)正面還是反面，就不能簡(jiǎn)單理解為普通函數(shù)。但我們