應(yīng)用回歸分析_一元回歸線性分析

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1、一元線性回歸分析2.1一元線性回歸有哪些基本假定?答：假設(shè)1、解釋變量X是確定性變量，Y是隨機(jī)變量；假設(shè)2、隨機(jī)誤差項(xiàng)ε具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性：E(εi)=0i=1,2,…,nVar(εi)=s2i=1,2,…,nCov(εi,εj)=0i≠ji,j=1,2,…,n假設(shè)3、隨機(jī)誤差項(xiàng)ε與解釋變量X之間不相關(guān)：Cov(Xi,εi)=0i=1,2,…,n假設(shè)4、ε服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布εi~N(0,s2)i=1,2,…,n2.2考慮過原點(diǎn)的線性回歸模型Yi=β1Xi+εii=1,2,…,n誤差εi（i=1,2,…,n）仍滿足基本假定。求β1的最小二乘估

2、計(jì)解：得：2.3證明（2.27式），Sei=0，SeiXi=0。證明：其中：即：Sei=0，SeiXi=02.4回歸方程E（Y）=β0+β1X的參數(shù)β0，β1的最小二乘估計(jì)與最大似然估計(jì)在什么條件下等價(jià)?給出證明。答：由于εi~N(0,s2)i=1,2,…,n所以Yi=β0+β1Xi+εi~N（β0+β1Xi,s2)最大似然函數(shù)：使得Ln（L）最大的，就是β0，β1的最大似然估計(jì)值。同時(shí)發(fā)現(xiàn)使得Ln（L）最大就是使得下式最小，上式恰好就是最小二乘估計(jì)的目標(biāo)函數(shù)相同。值得注意的是：最大似然估計(jì)是在εi~N(0,s2)的假設(shè)下求得，最小二乘估計(jì)則不要求分布假設(shè)。所以在εi~N(

3、0,s2)的條件下，參數(shù)β0，β1的最小二乘估計(jì)與最大似然估計(jì)等價(jià)。2.5證明是β0的無偏估計(jì)。證明：2.6證明證明：2.7證明平方和分解公式：SST=SSE+SSR證明：2.8驗(yàn)證三種檢驗(yàn)的關(guān)系，即驗(yàn)證：（1）；（2）證明：（1）（2）2.9驗(yàn)證（2.63）式：證明：其中：2.10用第9題證明是s2的無偏估計(jì)量證明：2.11驗(yàn)證決定系數(shù)與F值之間的關(guān)系式證明：2.14為了調(diào)查某廣告對(duì)銷售收入的影響，某商店記錄了5個(gè)月的銷售收入y（萬元）和廣告費(fèi)用x（萬元），數(shù)據(jù)見表2.6，要求用手工計(jì)算：表2.6月份12345X12345Y1010202040（1）畫散點(diǎn)圖（略）（2）X

4、與Y是否大致呈線性關(guān)系？答：從散點(diǎn)圖看，X與Y大致呈線性關(guān)系。（1）用最小二乘法估計(jì)求出回歸方程。計(jì)算表XY1104100206（-14）2（-4）221011001013（-7）2（3）2320000200042010027727254044004034142（-6）2和15100和Lxx=10Lyy=600和Lxy=70和100SSR=490SSE=110均3均20均20回歸方程為：（2）求回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差先求SSR（Qe）見計(jì)算表。所以（3）給出的置信度為95%的區(qū)間估計(jì)；由于(1-a)的置信度下，的置信區(qū)間是查表可得所以的95%的區(qū)間估計(jì)為：（7—3.182*1.915

5、，7+3.182*1.915），即（0.906,13.094）。所以的95%的區(qū)間估計(jì)為：（-1-3.182*6.351，-1+3.182*6.351），即（-21.211,19.211）。的置信區(qū)間包含0，表示不顯著。（4）計(jì)算x和y的決定系數(shù)說明回歸方程的擬合優(yōu)度高。（1）對(duì)回歸方程作方差分析方差分析表方差來源平方和自由度均方F值SSR490149013.364SSE110336.667SST6004F值=13.364>F0.05(1,3)=10.13(當(dāng)n=1,n=8時(shí)，α=0.05查表得對(duì)應(yīng)的值為10.13),所以拒絕原假設(shè)，說明回歸方程顯著。（8）做回歸系數(shù)β1的

6、顯著性檢驗(yàn)H0:β1=0t值=3.656>t0.05/2(3)=3.182,所以拒絕原假設(shè)，說明x對(duì)Y有顯著的影響。（2）做相關(guān)系數(shù)R的顯著性檢驗(yàn)R值=0.904>R0.05(3)=0.878,所以接受原假設(shè)，說明x和Y有顯著的線性關(guān)系。（3）對(duì)回歸方程作殘差圖并作相應(yīng)的分析殘差圖(略).從殘差圖上看出，殘差是圍繞e=0在一個(gè)固定的帶子里隨機(jī)波動(dòng)，基本滿足模型的假設(shè)ei~N(0,s2),但由于樣本量太少,所以誤差較大.（4）求廣告費(fèi)用為4.2萬元時(shí),銷售收入將達(dá)到多少?并給出置信度為95%的置信區(qū)間.解:當(dāng)X0=4.2時(shí),所以廣告費(fèi)用為4.2萬元時(shí),銷售收入將達(dá)到28.4萬

7、元.由于置信度為1-α?xí)r，Y0估計(jì)值的置信區(qū)間為:所以求得Y0的95%的置信區(qū)間為:[6.05932,50.74068]預(yù)測(cè)誤差較大.2.15一家保險(xiǎn)公司十分關(guān)心其總公司營(yíng)業(yè)部加班的制度，決定認(rèn)真調(diào)查一下現(xiàn)狀。經(jīng)過十周時(shí)間，收集了每周加班工作時(shí)間的數(shù)據(jù)和簽發(fā)的新保單數(shù)目，x為每周新簽發(fā)的保單數(shù)目，y為每周加班工作時(shí)間（小時(shí)）。見表2.7。表2..7周序號(hào)12345678910X825215107055048092013503256701215Y3.51.04.02.01.03.04.51.53.05.01、畫散點(diǎn)圖