應用時間序列分位數回歸

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1、目錄一、為什么需要分位數回歸二、總體分位數三、樣本分位數四、分位數回歸的估計方法五、分位數回歸模型的估計六、R軟件操作分位數回歸一、為什么需要分位數回歸？1、一般的回歸模型著重考察x對y的條件期望E(y

2、x)的影響，如果y

3、x不是對稱分布，則E(y

4、x)難以反映條件分布的全貌。如果能夠估計條件分布y

5、x的若干重要的條件分位數，比如中位數等，能夠更加全面的描述被解釋變量條件分布的全貌，而不是僅僅分析被解釋變量的條件期望（均值）。不同分位數下的回歸系數估計量常常不同，即解釋變量對不同水平被解釋變量的影響不同。2

6、、使用OLS進行“均值回歸”，由于最小化的目標函數為殘差平方和，容易受極端值影響?！胺治粩祷貧w”，使用殘差絕對值的加權平均作為最小化的目標函數，不易受極端值影響。而且，分位數回歸對誤差項并不要求很強的假設條件，因此對于非正態(tài)分布而言，分位數回歸系數估計量則更加穩(wěn)健。二、總體分位數假設Y為連續(xù)型隨機變量，其累積分布函數為Fy(·)。Y的“總體q分位數”，記為yq，滿足以下定義式：q=P(Y≤yq)=Fy(yq)￡=總體q分位數正好將總體分布分為兩部分，其中小于或等于yq的概率為q，而大于yq的概率為(1-q)

7、。如果q=1/2，則為中位數，正好將總體分為兩個相等的部分。如果Fy(·)嚴格單調遞增，則有yq=Fy-1(q)對于回歸模型，記條件分布y

8、x的累積分布函數為Fy

9、x(·)。條件分布y

10、x的總體q分位數，記為yq，滿足以下定義式：q=Fy

11、x(yq)假設Fy

12、x(·)嚴格單調遞增，則有yq=Fy

13、x-1(q)由于條件累積分布函數Fy

14、x(·)依賴于x，故條件分布y

15、x的總體q分位數yq也依賴于x，記為yq(x)，稱為“條件分位數函數”。對于線性回歸模型，如果擾動項滿足同方差的假定，或擾動項的異方差形式為乘積

16、形式，則yq(x)是x的線性函數。證明如下：y=x’β+uu=x’α·εε~iid(0,σ2)不失一般性，假設x’α>0。如果x’α為常數，則擾動項u為同方差；反之，則為乘積形式的異方差。根據定義，條件分位數函數yq(x)滿足q=P｛y≤yq(x)｝(條件分位數的定義)=P｛x’β+u≤yq(x)｝=P｛u≤yq(x)–x’β｝=P｛x’α·ε≤yq(x)–x’β｝=P｛ε≤(yq(x)–x’β)/(x’α)｝=Fε(yq(x)–x’β)/(x’α))其中，Fε(·)為ε的累積分布函數。因此，(yq(x)–

17、x’β)/(x’α)=Fε-1(q)。yq(x)=x’β+x’α*Fε-1(q)，故yq(x)是x的線性函數。在同方差的情況下，x’α為常數，所有條件分位數函數{yq(x),0

18、(2),…,y(n)}。yq等于第[nq]個最小觀測值，其中n為樣本容量，[nq]表示大于或等于nq而離nq最近的正整數?！纠縩=97，q=0.25，則[nq]=[97*0.25]=[24.25]=25。但這種方法不易推廣到回歸模型。一種等價方法是，將樣本分位數看成是某最小化問題的解。樣本均值也可看成是最小化殘差平方和的解：minui=1nyi-μ2mu=y=1ni=1nyi樣本中位數可視為“最小化殘差絕對值之和”問題的解：minμi=1nyi-μμ=median{y1,y2,…,yn}為什么求解這個最小

19、化問題會得到樣本中位數呢？因為只要μ的取值偏離中位數，就會使得殘差絕對值之和上升。例考慮一個樣本容量為99的樣本，假設其樣本中位數(即第50個最小觀測值)為10?！?91050th12……49假設第51個最小觀測值為12。如讓μ=12而不是10，則對于前50個觀測值而言，其殘差絕對值yi-μ都將增加2；對于后49個觀測值而言，其殘差絕對值yi-μ都將減少2。故總變動為(50*2)-(49*2)=2，故第51個最小觀測值不如第50個最小觀測值(中位數)更能使目標函數最小化。同理，第49個最小觀測值也不如第5

20、0個最小觀測值。由此可知，第50個最小觀測值(中位數)是最優(yōu)解。命題可以將樣本q分位數視為以下最小化殘差絕對值的加權平均問題的最優(yōu)解：minμi:yi≥μnqyi-μ+i:yi<μn1-qyi-μμ=yq例如果q=1/4，則滿足“yi≥μ”條件的觀測值只得到1/4的權重，而滿足“yi<μ”條件的其余觀測值則得到3/4的權重。因為估計的是1/4分位數(位于總體的底部)，故較大的觀測值得到的權重較小，而較小的觀測值得