階微分方程及其建模方法

《階微分方程及其建模方法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、微分方程基礎(chǔ)及其數(shù)學(xué)模型一階微分方程和微元分析法二階微分方程基礎(chǔ)常見微分方程模型解一、微分方程的基本概念解代入條件后知故開始制動(dòng)到列車完全停住共需微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.例實(shí)質(zhì):聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.2、微分方程的定義微分方程的階:微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之.分類1:常微分方程,偏微分方程.一階微分方程高階(n)微分方程分類2:分類3:線性與非線性微分方程.分類4:單個(gè)微分方程與微分方程組.微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之.微分方程的解的分類：3、主要問題--

2、---求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.(2)特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解.解的圖象:微分方程的積分曲線.通解的圖象:積分曲線族.初始條件:用來確定任意常數(shù)的條件.過定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題.解所求特解為補(bǔ)充:微分方程的初等解法:初等積分法.求解微分方程求積分(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來)可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解.分離變量法1、可分離變量的微分方程二、一階微分方程的求解例1求解微分方程解分離變量?jī)啥朔e分解由

3、題設(shè)條件衰變規(guī)律整理可得：的微分方程稱為齊次方程.(2).解法作變量代換代入原式可分離變量的方程(1).定義2、齊次方程例1求解微分方程微分方程的解為解例2求解微分方程解微分方程的解為一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.例如線性的;非線性的.3、一階線性方程齊次方程的通解為(1).線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)(2).線性非齊次方程常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實(shí)質(zhì):未知函數(shù)的變量代換.作變換積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解解例1微元分析法舉例及其特點(diǎn)湖水污染和凈

4、化化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型三、微元分析建模方法如圖所示，一容器內(nèi)，原有100毫升鹽水，其中含鹽50g，現(xiàn)以流速3毫升/分鐘的速度向容器注入鹽水，每毫升含鹽量為2g。假定流入的鹽水和容器內(nèi)的鹽水因攪拌而能瞬時(shí)混合均勻，并以同樣的速度流出。建立微分方程，描述容器中含鹽量的變化過程，由此計(jì)算半小時(shí)后容器內(nèi)剩多少公斤鹽？微元分析法舉例解：設(shè)t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的含鹽量為y(t)，y(0)=50，（單位：g）在任意一段時(shí)間內(nèi)，都有平衡式：容器內(nèi)的鹽的改變量=流進(jìn)的鹽量—流出的鹽量。在t→t+△t時(shí)間段考慮容器內(nèi)含鹽量變化情況：對(duì)應(yīng)的鹽的改變量=△y=y(t+△t)-y(t)；流進(jìn)鹽量—流出鹽量=3×

5、△t×2—3×△t×y(t)/100；所以△y=[6-3×y(t)/100]×△t，△y/△t=[6-3×y(t)/100]，令△t→0，得微分方程y‘=6—3y/100，且y(0)=50利用分離變量法，可求出通解為y=200—ce—3t/100，由初始條件y(0)=50，代入得c=150，所以容器含鹽量的變化規(guī)律為：y=200—150e-3t/100，當(dāng)t=30分鐘，y(30)=139克。？上述過程中，為什么要令△t→0？微元分析法的建模特點(diǎn)在建立關(guān)于函數(shù)y=y(t)的微分方程時(shí)，常常讓自變量在[t,t+△t]的微小區(qū)間內(nèi)活動(dòng)（區(qū)間長(zhǎng)度△t也可記作dt，稱為微元），而方程

6、兩端通常用來描述函數(shù)y從t→t+△t的改變量：左=△y=y(t+△t)—y(t)-----------函數(shù)增量右=f(t,y(t))×△t-----------------利用問題所涉及的相關(guān)知識(shí)，將函數(shù)值在[t,t+△t]內(nèi)的改變量用△t的一次形式近似表示出來。則△y/△t=f(t,y(t))，令△t→0，得微分方程dy/dt=f(t,y(t)).由于我們描述的函數(shù)常常以時(shí)間為自變量，因此，用微元分析法建立的微分方程的左端項(xiàng)dy/dt的實(shí)際含義通?？衫斫鉃椤八俾省保春瘮?shù)相對(duì)于時(shí)間的變化率），如：移動(dòng)速率；溫度的冷卻速率；化學(xué)反應(yīng)速率；繁殖速率等等。在這個(gè)意義上，微元分析

7、法建立的微分方程又稱“速率”方程。如上例中，可直接建立鹽量改變的速率方程：左=鹽量的變化速率=dy/dt；右=鹽量的流入速率-流出速率則有：y’=6-3y/100。一熱水瓶?jī)?nèi)裝有100攝氏度的熱水，放在約20攝氏度的房間內(nèi)，在24小時(shí)后，測(cè)得瓶?jī)?nèi)溫度為50攝氏度。假定冷卻的速率與溫差成正比，試描述熱水瓶溫度的變化過程，并求出3小時(shí)后溫度為多少？熱水的冷卻過程解：設(shè)t時(shí)刻熱水瓶?jī)?nèi)對(duì)應(yīng)的溫度為y(t)，y(0)=100，（單位：攝氏度）由冷卻定律，t時(shí)刻的冷卻速率和當(dāng)時(shí)熱水瓶?jī)?nèi)溫度與室內(nèi)溫度差成正比，設(shè)比例常數(shù)為k，則