高數(shù)課件ZJ812矢量

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1、數(shù)量關(guān)系—第八章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何在三維空間中:空間形式—點,線,面基本方法—坐標法;向量法坐標,方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)四、利用坐標作向量的線性運算第一&二節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影機動目錄上頁下頁返回結(jié)束向量及其線性運算第八章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點無關(guān)的向量(可自由平移).起點為原點的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1M2,或a,機動目錄上頁下頁返回結(jié)

2、束規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,a∥b;與a的模相同,但方向相反的向量稱為a的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線.若k(≥3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面.記作－a;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.向量的減法三角不等式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.向量與數(shù)

3、的乘法?是一個數(shù),規(guī)定:可見?與a的乘積是一個新向量,記作總之:運算律:結(jié)合律分配律因此機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.設(shè)a為非零向量,則(?為唯一實數(shù))證:“”.,取?＝±且再證數(shù)?的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b取正號,反向時取負號,,a,b同向時則b與?a同向,設(shè)又有b＝?a,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束“”則例1.設(shè)M為解:ABCD對角線的交點,已知b＝?a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2.三向量a,b,c共面的充分必要條件是其中一個向量可以表示成其余兩個向量的線性組合。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條

4、互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.坐標原點坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點o,坐標面卦限(八個)zox面1.空間直角坐標系的基本概念機動目錄上頁下頁返回結(jié)束Ⅰ向徑在直角坐標系下坐標軸上的點P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點M特殊點的坐標:有序數(shù)組(稱為點M的坐標)原點O(0,0,0);機動目錄上頁下頁返回結(jié)束坐標軸:坐標面:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設(shè)點M則沿三個坐標軸方向的分向量.的坐標為此式稱為向量r的坐標分解式,任意向量r可用向徑OM表示.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束四、利用坐標作向量的

5、線性運算設(shè)則平行向量對應(yīng)坐標成比例:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.已知兩點在AB直線上求一點M,使解:設(shè)M的坐標為如圖所示及實數(shù)得即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:由得定比分點公式:點M為AB的中點,于是得中點公式:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.在z軸上求與兩點等距

6、解:設(shè)該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在xoy面上與A,B等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點的軌跡方程?離的點.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束提示:(1)設(shè)動點為利用得(2)設(shè)動點為利用得且例6.已知兩點和解:求機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點O,稱?=∠AOB(0≤?≤?)為向量的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標軸的夾角?,?,?為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.記作機動目錄上頁下頁返回結(jié)束方向余弦的性質(zhì):機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計

7、算向量機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.設(shè)點A位于第一卦限,解:已知角依次為求點A的坐標.則因點A在第一卦限,故于是故點A的坐標為向徑OA與x軸y軸的夾第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束空間一點在軸上的投影第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束空間一向量在軸上的投影第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束關(guān)于向量的投影定理（1）證第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1的說明：投影為正；投影為負；投影為零；(4)相等向量在同一軸上投影相等；第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個）P13，例2.5作業(yè)P6A類：3；B類：2；P13A類：4；8；B類：3；

8、5.