三進(jìn)制霍夫曼編碼

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1、題目：將霍夫曼編碼推廣至三進(jìn)制編碼，并證明它能產(chǎn)生最優(yōu)編碼?！鶎⒒舴蚵幋a推廣至三進(jìn)制編碼設(shè)一個(gè)數(shù)據(jù)文件包含Q個(gè)字符：A1，A2，……，Aq，每個(gè)字符出現(xiàn)的頻度對(duì)應(yīng)為P：P1，P2，……，Pq。1.將字符按頻度從大到小順序排列，記此時(shí)的排列為排列1。2.用一個(gè)新的符號(hào)(設(shè)為S1)代替排列1中頻度值最小的Q-2k(k為(Q-1)/2取整)個(gè)字符，并記其頻度值為排列1中最小的Q-2k個(gè)頻度值相加，再重新按頻度從大到小順序排列字符，記為排列2。(注：若Q-2k=0，則取其值為2，若Q-2k=1，則取其值為3.)3.對(duì)

2、排列2重復(fù)上述步驟2，直至最后剩下3個(gè)概率值。4.從最后一個(gè)排列開始編碼，根據(jù)3個(gè)概率大小，分別賦予與3個(gè)字符對(duì)應(yīng)的值：0、1、2，如此得到最后一個(gè)排列3個(gè)頻度的一位編碼。5.此時(shí)的3個(gè)頻度中有一個(gè)頻度是由前一個(gè)排列的3個(gè)相加而來，這3個(gè)頻度就取它的一位編碼后面再延長一位編碼，得到二位編碼，其它不變。6.如此一直往前，直到排列1所有的頻度值都被編碼為止。舉例說明如下（假設(shè)Q=9）：字符A1A2A3A4A5A6A7A8A9頻度0.220.180.150.130.100.070.070.050.03字符頻度編碼頻度

3、編碼頻度編碼頻度編碼A10.2220.2220.3010.480A20.18000.18000.2220.301A30.15020.15010.18000.222A40.13100.15020.1501A50.10110.13100.1502A60.07120.1011A70.070100.0712A80.05011A90.03012頻度中的黑體為前一頻度列表中斜體頻度相加而得。編碼后字符A1~A9的碼字依次為：2,00,02,10,11,12,010,011,012。構(gòu)造三進(jìn)制霍夫曼編碼偽碼程序如下：HUFF

4、MAN(C)1n←∣C∣2Q←C3fori←1ton-14doallocateanewnodes5left[s]←x←EXTRACT-MIN(Q)6middle[s]←y←EXTRACT-MIN(Q)7right[s]←z←EXTRACT-MIN(Q)8f[s]←f[x]+f[y]+f[z]9INSERT(Q，z)10returnEXTRACT-MIN(Q)※霍夫曼編碼（三進(jìn)制）最優(yōu)性證明在二進(jìn)制霍夫曼編碼中，文件的最優(yōu)編碼由一棵滿二叉樹表示，樹中每個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)都有兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)。在此與之相對(duì)應(yīng)，構(gòu)造一棵滿三叉樹來

5、表示三進(jìn)制的霍夫曼編碼，樹中每個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)都有三個(gè)子結(jié)點(diǎn)。對(duì)文件中A中的每個(gè)字符a，設(shè)f(a)表示a在文件中出現(xiàn)的頻度，dT(a)表示字符a的編碼長度，亦即a的葉子在樹中的深度。這樣，編碼一個(gè)文件所需的位數(shù)就是B(T)=∑f(a)dT(a)設(shè)A為一給定文件，其中每個(gè)字符都定義有頻度f[a]。設(shè)x，y和z是A中具有最低頻度的兩個(gè)字符。并設(shè)A'為文件A中移去x，y和z，再加上新的字符s后的文件，亦即A'=A-{x,y,z}∪{s}；如A一樣為A'定義f，其中f[s]=f[x]+f[y]+f[z]。設(shè)T'為文件A'上

6、最優(yōu)前綴編碼的任意一棵樹，那么，將T'中葉子節(jié)點(diǎn)s換成具有x，y和z孩子的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)所得到的樹T，表示文件A上的一個(gè)最優(yōu)前綴編碼。證明：對(duì)每一個(gè)a∈A-{x,y,z}，有dT(a)=dT'(a)，故f[a]dT(a)=f[a]dT'(a)。又dT'(x)=dT'(y)=dT'(z)=dT''(s)+1，從而有：f[x]dT'(x)+f[y]dT'(y)+f[z]dT'(z)=(f[x]+f[y]+f[z])(dT''(s)+1)=f[s]dT''(s)+(f[x]+f[y]+f[z])由此可得：B(T)=B(T'

7、)+f[x]+f[y]+f[z]假設(shè)T不表示A的最優(yōu)前綴編碼，那么存在一棵樹T''，有B(T'')#i

8、nclude#includeintSorting(int*x,intn){//排序int*a,b,i,j,r=0;a=x;for(j=0;j