動點(diǎn)的軌跡問題

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1、動點(diǎn)的軌跡問題根據(jù)動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律求出動點(diǎn)的軌跡方程，這是解析幾何的一大課題：一方面求軌跡方程的實(shí)質(zhì)是將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”，通過對方程的研究來認(rèn)識曲線的性質(zhì)；另一方面求軌跡方程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想、方法以及技巧的極好教材。該內(nèi)容不僅貫穿于“圓錐曲線”的教學(xué)的全過程，而且在建構(gòu)思想、函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等方面均有體現(xiàn)和滲透。軌跡問題是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)和重點(diǎn)，在歷年高考中出現(xiàn)的頻率較高，特別是當(dāng)今高考的改革以考查學(xué)生創(chuàng)新意識為突破口，注重考查學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力，分析問題和解決問題的能力，而軌跡方程這一熱點(diǎn)，常涉及函數(shù)、三角、向量、幾

2、何等知識，能很好地反映學(xué)生在這些能力方面的掌握程度。求軌跡方程的的基本步驟：建設(shè)現(xiàn)代化（檢驗(yàn)）建（坐標(biāo)系）設(shè)（動點(diǎn)坐標(biāo)）現(xiàn)（限制條件，動點(diǎn)、已知點(diǎn)滿足的條件）代（動點(diǎn)、已知點(diǎn)坐標(biāo)代入）化（化簡整理）檢驗(yàn)（要注意定義域“挖”與“補(bǔ)”）求軌跡方程的的基本方法：1．直接法：如果動點(diǎn)運(yùn)動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。2．定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。3.代入法：動點(diǎn)所滿足的

3、條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點(diǎn)P(x,y)卻隨另一動點(diǎn)Q(x’，y’)的運(yùn)動而有規(guī)律的運(yùn)動，且動點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x’,y’表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。4.參數(shù)法：求軌跡方程有時(shí)很難直接找到動點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點(diǎn)的軌跡方程。5.交軌法：求兩動曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程。可以說是參數(shù)法的一種變種。

4、6.轉(zhuǎn)移法：如果動點(diǎn)P隨著另一動點(diǎn)Q的運(yùn)動而運(yùn)動，且Q點(diǎn)在某一已知曲線上運(yùn)動，那么只需將Q點(diǎn)的坐標(biāo)來表示，并代入已知曲線方程，便可得到P點(diǎn)的軌跡方程。7.幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律和動點(diǎn)滿足的條件，然而得出動點(diǎn)的軌跡方程。8.待定系數(shù)法：求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求。9.點(diǎn)差法：求圓錐曲線中點(diǎn)弦軌跡問題時(shí)，常把兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)為并代入圓錐曲線方程，然而作差求出曲線的軌跡方程。此部分內(nèi)容主要考查圓錐曲線，圓錐曲線的定義是根本，它是相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的“源”。對于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運(yùn)用圓錐曲線定義解題的意識，“

5、回歸定義”是一種重要的解題策略。二、注意事項(xiàng)：1.求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運(yùn)動變化中，發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律，即P點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，因此要學(xué)會動中求靜，變中求不變。來表示，若要判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需將參數(shù)方程化為普通方程。3.求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其是否符合題意，既要檢驗(yàn)是否增解，（即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在軌跡上），又要檢驗(yàn)是否丟解。（即軌跡上的某些點(diǎn)未能用所求的方程表示），出現(xiàn)增解則要舍去，出現(xiàn)丟解，則需補(bǔ)充。檢驗(yàn)方法：研究運(yùn)動中的特殊情形或極端情形。4．求軌跡方程還有整體法等其他方法。在此不一一綴述。【典型例題選講】一、直接法題型：例1已知

6、直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q（2，0），圓C的方程為，動點(diǎn)M到圓C的切線長與的比等于常數(shù)，求動點(diǎn)M的軌跡。解：設(shè)MN切圓C于N，則。設(shè)，則化簡得（1）當(dāng)時(shí)，方程為，表示一條直線。（2）當(dāng)時(shí)，方程化為表示一個(gè)圓。說明：求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。變式--如圖，圓與圓的半徑都是1，，過動點(diǎn)P分別作圓、圓的切線PM、PN（M、N分別為切點(diǎn)），使得．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點(diǎn)P的軌跡方程．解：以的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則由已知可得：因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，所以設(shè)，則，即所以所求軌跡方程為：（或）評析：1、用直接法求

7、動點(diǎn)軌跡一般有建系,設(shè)點(diǎn)，列式，化簡，證明五個(gè)步驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖”與“補(bǔ)”。2、求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。二、定義法題型：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。例2已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且

8、AB

9、=

10、BC

11、=6，⊙O′切直線l于點(diǎn)A，又過B、C作⊙O′異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.【解析】設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩