由聯(lián)合分布求邊緣分布的技巧

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1、2006年水木艾迪考研輔導(dǎo)班考研數(shù)學(xué)三十六技教務(wù)電話：62701055網(wǎng)管電話：62780661-433____________________________________________________________________________________________三十六技之三十二技：聯(lián)合分布定邊緣，獨(dú)立判斷就搞定，連續(xù)離散有類比，一維多維對(duì)應(yīng)記，二維連續(xù)畫區(qū)域，分布概率直接求，二維正態(tài)看參數(shù)，均勻分布望面積?！鞠嚓P(guān)知識(shí)點(diǎn)】?由聯(lián)合分布求邊緣分布的技巧，判斷獨(dú)立性；?由聯(lián)合分布求概率；?多個(gè)隨機(jī)變量（獨(dú)

2、立或相關(guān)）的函數(shù)（線性組合、積、商、最值等）的分布求法—直接法；?獨(dú)立分布的可加性問題；?二維正態(tài)分布的相關(guān)問題例題●獨(dú)立性判斷與二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率求法P{(X,Y)∈A}=∫∫f(x,y)dxdyA例32-1.設(shè)隨機(jī)變量(,XY)的聯(lián)合概率密度為?y?Cxe,0

3、立？說明其理由；（3）求概率PXY(+<1)與條件概率PX(1<

4、2Y=)；（4）求X與Y的相關(guān)系數(shù)；2（5）試求常數(shù)a,b,使E(Y?[aX+b])取到最小值,并求出此最小值。清華大學(xué)劉坤林水木艾迪網(wǎng)址:www.tsinghuatutor.com清華大學(xué)東門外創(chuàng)業(yè)大廈100612006年水木艾迪考研輔導(dǎo)班考研數(shù)學(xué)三十六技教務(wù)電話：62701055網(wǎng)管電話：62780661-433_________________________________________________________________________

5、___________________∞nx??1（注：計(jì)算時(shí)可以直接利用積分∫xedxn=(1?)!，其中為自然數(shù)）n0【解】（1）C=1。（2）X與Y不獨(dú)立。121?x?y?1?1（3）PX(1+<=Y)(∫∫fxydxdy,)＝∫∫dxxedy=1??e2e。xy+<10x1x1PX(1<===

6、2Y)∫dx。240CovXY(,)EXY??EXEY8232×6（4）ρ=====XY,DXDYDXDY23×63CovXY(,)22(5)當(dāng)a===1，bE=Ya?=EX321?=時(shí)，E(Y?[aX+b])取到最小DX22

7、2值，最小值為DY(1?ρ)=?=3(1)1。XY,3?,10

8、,0其它其中

9、α

10、≤1，試求（1）(X,Y)的邊緣密度函數(shù)f(x),f(y)；XY（2）U=X?Y的密度；3（3）E[(X?Y)].清華大學(xué)劉坤林水木艾迪網(wǎng)址:www.tsinghuatutor.com清華大學(xué)東門外創(chuàng)業(yè)大廈100622006年水木艾迪考研輔導(dǎo)班考研數(shù)學(xué)三十六技教務(wù)電話：62701055網(wǎng)管電話：62780661-433____________________________________________________________________________________________【解】X

11、與Y的邊緣分布相同，均為（0，1）上的均勻分布；3?αu?1(+)+1(+α)u?2α,?1

12、(λ),Y~Ex(λ)，試證明X+Y~Γ(2,λ).例32-6.用兩個(gè)獨(dú)立的同類設(shè)備分別組成串聯(lián)、并聯(lián)及備用（也即冷儲(chǔ)備）系統(tǒng).如此類設(shè)備的壽命為參數(shù)是λ(>0)的指數(shù)分布.(I)試分別求三個(gè)系統(tǒng)在t0>0前失效的概率.(II)試分別求三個(gè)系統(tǒng)的期望壽命（平均壽命）【解】(I)串聯(lián)系統(tǒng)所求