徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格Galerkin方法

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1、徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格Galerkin方法摘要：首先我們把徑向基函數(shù)的理論應(yīng)用到了Galerkin方法解偏微分方程的領(lǐng)域屮。在給了一個總的描述Z后，我們展示了光滑問題在任意維當(dāng)屮的收斂性并作出了誤差估計。1引言徑向基函數(shù)插值在多元近似理論屮已經(jīng)成為了一個強(qiáng)有力的工具，特別對于緊支撐徑向基函數(shù)出現(xiàn)后。這篇文章我們描述了徑向基函數(shù)怎樣被用來求解橢圓型偏微分方程的數(shù)值解。這里我們選擇了同古典的有限元方法之中相同的Galerkin方法，得到的結(jié)果是可以同古典有限元方法比較的。與有限元方法相比，使用徑向基函數(shù)建立有限維子空間的結(jié)果與當(dāng)前子空間的維數(shù)沒有關(guān)系，那么原則上它能解決量

2、子力學(xué)中的高維問題。其次，古典有限元方法關(guān)于網(wǎng)格的技術(shù)細(xì)節(jié)要花費很多時間，尤其是對于運動邊界隨時間變化的問題。網(wǎng)格的形成不僅要適應(yīng)解的奇異性，同時要適應(yīng)域的改變。無網(wǎng)格方法不需要處理像這樣的問題，因為它們僅僅使用了無關(guān)的離散中心。最后，光滑解能同非光滑解一樣簡單的被建立。第二部分描述了更多偏微分方程的細(xì)節(jié)及Galerkin方法。第三部分簡單的概括了徑向基函數(shù)插值理論。在第四部分我們展示了這個理論怎樣被應(yīng)用到Galerkin法和Rayleigh-Hitz法近似中來，并且在Sobolev空間得到了一種特殊的基函數(shù)。最后一部分，我們把這些結(jié)果推廣到更一般的基函數(shù)中，即使

3、我們在不知道精確解光滑性的情況下，也給出它的逼近階。2PDE和Galerkin法在有界域Q及其O-邊界3Q上考慮如下問題:d-zi，j=du3Xj)(x)+c(x)u(x)=/(x),xeQ(2.1)(2.2)(x)+h(x)u(x)=g(x),xe3Q其中勺,=…厶(Q),勺,/zw2(dQ),geL2(3Q)v為邊界dQ上的單元標(biāo)準(zhǔn)向量。假設(shè)矩陣AQO=（知（對）在Q上滿足橢圓條件也就是說存在常數(shù)丫對所有xeQ,aw口〃都有dd（兀）Q0/>1i，冃^求（2.1）式的變分方程任取veV,V=Wj,乘以（2.1）兩端并在Q上積分:匕g敘證）+皿）心0對上式第一

4、項由格林公式可得:a^v^vds觀2i，冃丸-J￡敘厝)?曲二厝獸婦j￡QM=1OXiOXjQM=1OXjOXi3￡2M=1(2.1.2)由（2.2）式得:3m7Z―vz.=g-hudxJaif^-^-dx-j(g-hu)vds+jcuvdx-jfvdx=O&XjOx：°Qqq我們可以得到連續(xù)的雙線性形式:肆皿（2.3）a(u,v)=j(工ayJJ+cuv)dx+[ij=^XjdXj(和連續(xù)的線性形式：F(v)=Lfvdx+.gvdSV=W^那么(2.1)?(2.2)的變分問題就是，求函數(shù)對于任意veW^都有Q仏y)=F(y)(2.4)成立，由Lax-Milgr

5、am定理知函數(shù)U是唯一的。這種方法可以在整個IV,1(Q)Sobolev空間上進(jìn)行，邊界條件木身融入了雙線性形式Q和線性形式F。為了得到(2.4)的數(shù)值解，構(gòu)造解空間V的有限維子空間人，并離散化則有，求函數(shù)uNGVv對于任意陀都有a(uN,v)=F(v)(2.5)(2.4)式得真解U與數(shù)值解UNZ間的誤差是收斂的，可由Cea引理得也-臥Ng"廟I山-叫(⑵(2.6)C為一常數(shù)。我們可以要求)并且〃為當(dāng)前空間維數(shù)，事實上，根據(jù)Sobolev空間的嵌入定理，這就要求被逼近的函數(shù)至少是一個連續(xù)函數(shù)。3徑向基函數(shù)本文用有限維空間$，有如下形式：VN…，①(?_&)}+￡?

6、函數(shù)①：R"T/?至少是一階連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù)，戌為次數(shù)小于m的多項式空間，X={xp...,xaJcQ是由兩兩不同的點集組成。當(dāng)0為緊支撐函數(shù)Hm=OI］寸，這種情況下的剛度矩陣。(①(?-X)①(?-xky)是稀疏的，而且①⑴"(制2),xeRdK有一個單變量函數(shù)0:檢》，剛度矩陣的很多項可以很容易的計算出來。下面我們通過(2.6)式考慮逼近誤差，因此我們需要調(diào)用徑向基函數(shù)的一些理論。定義3.1函數(shù)①：R〃T/?是m階條件正定的當(dāng)且僅當(dāng)對于任意互異的點集X={西,…，心}uR〃以及所滿足的條件N工勺町=0,p

7、oj,k=是成立的，當(dāng)m=0,①稱為止定函數(shù)。如果知道u在一個兩兩互異的離散點X二X，…，兀訂上的值，其徑向基函數(shù)插值就是構(gòu)造如下的插值函數(shù)NSu⑴=工勺①(無-xz)+P(x)冃'P為次數(shù)小于m的多項式，通過插值，S“滿足5M(x.)=W(x.),l1明始終存在一個S“滿足所需的條件。徑向基函數(shù)名稱①（兀）=0（廠）,廠=制2mF(/7)薄板樣條(_1)井/2嚴(yán)iogr,〃w2N(一1)[“/2]嚴(yán),“wR>o2N1+“/?[〃/2]Sobolev樣條仏/2（尸）宀，

8、“>￡KM