利用“降階法”求解歐拉方程

利用“降階法”求解歐拉方程

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1、利用“降階法”求解歐拉方程【摘要】本文通過“降階法”研究了三階非齊次歐拉方程的求解問題,給岀了通解的積分形式,并通過具體例題來說明求解的方法和步驟.【關(guān)鍵詞】歐拉方程;降階法;特征方程;特征值【基金項目】2015年唐山師范學(xué)院教育教學(xué)改革研究項目一一《常微分方程》課程教學(xué)改革的研究與實踐(2015001018)?歐拉方程是一類很重要的變系數(shù)微分方程,對于它的求解一直是研究的重點?可以發(fā)現(xiàn),対于非齊次歐拉方程的求解主耍有兩種方法,但計算步驟較煩瑣,而且計算量也很大,本文以三階非齊次歐拉方程為例,通過對

2、未知函數(shù)進行合適的變換,進而降低方程的階數(shù),并得到其通解的積分形式,而且此方法可以推廣到更高階的非齊次歐拉方程.定義1形如x3y+ax2yrf+bxy‘+cy=f(x)(1)的方程稱為三階非齊次歐拉方程,其中a,b,ceR,f(x)是連續(xù)函數(shù).定義2形如x3y+ax2y"+bxy‘+cy二0(2)的方程稱為三階齊次歐拉方程,且方程(2)稱為対應(yīng)于方程(1)的齊次歐拉方程?通過對比可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)方程(1)中的自由項f(x)三0時,便為方程(2)?定義3稱方程k(k~l)(k~2)+ak(k~l)+bk+

3、c二0(3)為方程(2)的特征方程,方程(3)的根稱為方程(2)的特征根?方程(2)的特征根對應(yīng)它的某個特解.定理1若在方程(1)+c=0,且kl,k2滿足方程:k(k-l)+ak+b二0,?t方程(1)的通解為y=fxklfxk2-kl~lfx-k2~2f(x)dxdxdx,英中通解中的三個相互獨立的常數(shù)包含在三個不定積分中.證明當(dāng)c二0時,方程(1)變?yōu)閤3y+ax2y"+bxy‘=f(x),上式為可降階的三階方程,做函數(shù)變換,令z=yz,則上述方程等價于x2z"+axz‘+bz二xTf(x),

4、(4)方程(4)的通解為z二xklfxk2-kl-lfx-k2~2f(x)dxdx,因此,方程(1)的通解為y=fxklfxk2-kl~lfx-k2~2f(x)dxdxdx,其中通解中的三個相互獨立的常數(shù)包含在三個不定積分中.定理2若在方程(1)中cHO且yO(x)二xkO是滿足方程(2)的非零實特解,kl,k2滿足方程k(k-l)+(3k0+a)k+[3k20+(2a-3)kO+b]二0,則方程(1)的通解為y=xkOfxklfxk2-klTfx-k2-k0-2f(x)dxdxdx,其中通解中的三

5、個相互獨立的常數(shù)包含在三個不定積分中.證明因為yO(x)二xkO是方程(1)的非零特解,做函數(shù)變換y二xkOjudx,并代入方程(1)中,整理后可得:x2u"+(3k0+a)xu‘+[3k20+(2a~3)kO+b]u二x-kOTf(x),顯然方程(1)降低一階,且上式為關(guān)于u的二階非齊次歐拉方程,結(jié)合已知條件與定理1的證明可知,u=xklfxk2-kl~lfx-k2-k0~2f(x)dxdx,即方程(1)的通解為:y=xkOfxklfxk2-klTfx-k2-kO-2f(x)dxdxdx,其中通解

6、中的三個相互獨立的常數(shù)包含在三個不定積分中.下面通過具體例題來說明如何利用定理1和定理2來求解非齊次歐拉方程.例1求方程x3y-x2y"+2xy‘-2y二2x3的通解.解顯然,y二x是對應(yīng)的齊次歐拉方程的非零實特解,即kO=l,將各系數(shù)代入k(k-1)+(3k0+a)k+[3k20+(2a~3)kO+b]二0,得到k(k-1)+2k=0,解得k>0,k2=-l,乂f(x)二2x3,則根據(jù)定理2,原方程的通解為y=xfxklfxk2-klTfx-k2~3f(x)dxdxdx二xl2x2-clIn

7、x

8、

9、+c2x+c3?例2求方程x3y+2xy‘~2x=x(x>0)的通解.解顯然,y二x是對應(yīng)的齊次歐拉方程的非零實特解,即k0=l,將各系數(shù)代入k(k-1)+(3k0+a)k+[3k20+(2a~3)kO+b]二0,解得kl二-l+i,k2=-l-i,乂f(x)二x,則由定理2,原方程的通解為y=xk0k2~klfxk2fx-k2~k0-2f(x)dx-xklfx-kl-k0~2f(x)dxdx,(5)再根據(jù)歐拉公式ea+iP=ea(cosB+isinB),得到xk2=x-l+i=x-l[cos(ln

10、x)+isin(lnx)],xk3二xT-i二xT[cos(lnx)-isin(lnx)],并將英代入(5)式中,則原方程的通解為y二x(Inx-clcos(lnx)+c2sin(lnx)+c3)?

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