第三章張量函數(shù)

《第三章張量函數(shù)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在工程資料-天天文庫。

1、第三章張量函數(shù)第十一講:張量函數(shù)：若張量R依賴于n個張量T[fT2fJn而變化，即給定這n個張量Jn,可以唯一確定張量H,則稱張量H是八婦,…,億的函數(shù):H=FZ，,監(jiān))①定義中的張量包含標量、矢量特殊情況②函數(shù)形式可能與坐標系相關例如:/=%(“)=%；+爲。由于川+/。不是不變量，當函數(shù)在坐標系1中描述時:根據(jù)：="cos&+u；sin&応=-Wjsin0+%；cos0可得：(p=f0(u)=wj(cos0一sin&)+訝(cos0+sin0)豐%；+uf張量的旋轉量：分量不變、坐標系彼此相差一個剛性轉動的一組張量T=Tijg,?gjv=咆?

2、Rgi=eiRSi=eiuuT=TUrt?ej區(qū))(RT?ejv=vl(RT=疋亍R=RTv9=RT疋t^v-Rv0=0Rgi=eiu0=(p各項同性張量函數(shù)：H=F(7；,7；，…衛(wèi))二方=尸(九穴,…，久)：表達形式不因坐標系的剛性轉動而改變的函數(shù)。基本表示定理：(P=/(vPv2,...,vz/)為各向同性函數(shù)的充要條件為0=/(氣丁)定理1:(p—f(v)為各向同性函數(shù)的充要條件為(p—f(

3、^

4、)定理2：(p=f⑺為各向同性函數(shù)的充要條件為0為張量不變量的函數(shù)定理3：對稱張量的標量函數(shù)(p=f(N)為各向同性函數(shù)的充要條件為°是僅由張量

5、的主不變量決定的函數(shù)：(P十,作業(yè)：定理三的必要性證明二階張量的解析函數(shù)zz?z‘z"夕=]+—+—+—+…?+—+???=>1!2!3!nA=G+F+一+一+???+一2!3!nsin(T)=T--T3T5T113!5!7!T2y4卩6cos(T)=G-—+一2!4!6!由于T2=(RTRTy=RTRTRTRr=RT2R7T3=T2(RTRr)=RT2RrRTRr=RT3Rrtn二TH-[(RTRr)=RR「RTR「=RTRt所以ef=ReTRtsin(T)=R-sin(T)-RTcos(f)=R?cos(T)?R1可見：張量的解析函數(shù)都是

6、各向同性函數(shù)。另一方面：T-v=Av^>T2-v—QT?v—A2v二Tn?v—Anv所以T==11F—I）v=eAv1!2!3!n定理：若二階張量T-v=Av，則它的解析函數(shù)H=/（T）必有=例如：對稱張量N=ggl+&g2?g2+戀3?g3則sin（N）=sin（人）g]?g]+sinMg2?g2+sm（^）g3?g3如果：T?（gl+叔2）=（人+込）（gl+破2）u八場=也T?g嚴人gl—^g2則sin（7>g3=sin（入）g3sin（0）?（g]+ig2）=sin（人+込）（￡+ig2）由于sin（人+込）=sin（人）cos（i&）

7、+cos（人）sin（迅）et（x+iy）=cos（x+iy）+zsin（x+iy）所以cos（x+iy）=0.5（"咖）+刃）ncos（込）==c/z（y）-yysin（x+iy）=-0.5i（e,（v+,v）一e",（v+,v））nsinQ/^）==is7z（y）-2iusin（T）-^3=sin（^）^3sin（7>g]=sin（人）c/z（人）￡-cos（人）必（人）g2sin（7>g2=sin（人）必（入）g2+cos（人）必（入）g]Vsin（T）=sinQ咫?g'+sin（人）ch（血）（g】?g]+g2?g2）+cos（人）sh（

8、^）（g】?g2-g2?gl）第十二講Hamilton-Cayley定理:才-+加-§3=0=>廠-?尸+§卩-M=0設：△（T）=（T-人GW-ga-石G）根據(jù)八g嚴也卩"g2+ig3）=入（場+鳥）則有：A（7>?=（卩-2）?（T-入G）?（T-&G）?浙=（人一石）（卩一人G）?（T_入G）?品=（人一/0仏一入）（T—4G）?$=0△（C?（g2+ig3）mG）?（J入G）?（T-&G）?（g2+igJ=（入_石⑺-&G）?（T_&G）?幺+妊）=0UA（T）g2=0wng=o如果入為二重根①（T_易G）?g】=0;（F_易G）?g2=

9、0貝IJ（T—人G）?（T—易G）?￡=〃=>（T一人G）?（T—&G）=〃②存在約當鏈：（7-入G）?gi=〃（卩—2也7(T-^G)2?g嚴(T_入G)_g嚴〃=>△(/>&產〃如果入為三重根①沒有約當鏈：(T-QG)?gi=〃』_佝?％=0(T-AGyg3=O則(T-AG)=O②有二階約當鏈：{T-WYg.=O(J2G)?g嚴〃(T-AGyg2=gi貝\(T-AG)2=0③有三階約當鏈：(T-QG)?g嚴〃(T_QG)?g2=g

10、(?G)g=g2貝l」（T—QG）3=〃綜合以上各式可得△（巧與任何矢量的點積都為零（因三個特征向量線性無關）

11、約當鏈：<31、A=具有二重特征根&=入=31°3丿然而，它的特征方程：要求兀2=0,所以它只有一個特征向量：x=[l0]r一定有解，且