對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)-學(xué)生

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1、聚智堂學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員姓名：學(xué)科教師：黃璽年級(jí):輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)課時(shí)數(shù)：3課時(shí)授課時(shí)間：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)目的1.掌握對(duì)數(shù)的概念、常用對(duì)數(shù)、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式與自然對(duì)數(shù)；2.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).教學(xué)內(nèi)容知識(shí)精要知識(shí)點(diǎn)一、對(duì)數(shù)及其運(yùn)算園我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程遇到2=4的問題時(shí)，可憑經(jīng)驗(yàn)得到x=2的解，而一旦出現(xiàn)2仝3時(shí)，我們就無法用已學(xué)過的知識(shí)來解決，從而引入出一種新的運(yùn)算一一對(duì)數(shù)運(yùn)算.(一)對(duì)數(shù)概念：國(guó)1.如果'二且”*1),那么數(shù)b叫做以&為底N的對(duì)數(shù)，記作：logaN二b.其屮a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)

2、，N叫做真數(shù).2.對(duì)數(shù)恒等式：1。乩”3.對(duì)數(shù)且玄*J具有下列性質(zhì):(1)0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即N>°；(2)1的對(duì)數(shù)為0,即log^1=0；(3)底的對(duì)數(shù)等于1,即kg^=1.(二)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)應(yīng)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，1紹】0術(shù)記作運(yùn)".以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù),1很"簡(jiǎn)記作In"(三)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系園由定義可知:對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化?它們的關(guān)系可由下圖表示.指數(shù)式指數(shù)對(duì)數(shù)式對(duì)數(shù)幕真數(shù)IIa^NlogaN=b丨I底數(shù)由此可見a,b,N三個(gè)字母在不同的式子中

3、名稱可能發(fā)生變化.(一)積、商、幕的對(duì)數(shù)應(yīng)已知0且aHl,M.">0)(1)loga(MN)=logaM+logaN.推廣：1濁何輒…％)=1濁嗎+1濁地+…+1濁弘(坷、%、…、N,>0)logfl^=logflAf-logfl2/(2)N:⑶log。AT二QlogaM(二)換底公式闔同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在a>0,a^l,M>0的前捉下有:⑴bgaMiogjM74(刃已氏)410gaM=b，則有ab=M,(ab)n=Mn,即("『二爐，即叫",即：1%MT叫爐l0gaM=^^(c>0,c1)o(2)處，

4、，令logaM=b,則有ab=M,則有處沁=1濁>°工工】)山嗟土li二蜓％>0"1)即blog“=log(M,即log,,即log,當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)⑴可由⑵推出，但在解決某些問題⑴又有它的靈活性.而且由⑵還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：logfl&=(a>QaH1上A0,bH1)log0a知識(shí)點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)園1.函數(shù)y=logax(a>0,aHl)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).2.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)Q1時(shí)，隨a的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當(dāng)Ovgl時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸.(見圖1)⑴對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a

5、Hl)的定義域?yàn)?0,+-),值域?yàn)镽⑵對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,aHl)的圖像過點(diǎn)(1,0)⑶當(dāng)a>l吋,>0(x>1)log4=0(x=1)當(dāng)03<1時(shí),<0(01)log4x<=0(x=1)>0(00且aU,N>0,biR)容易記錯(cuò).(2)關(guān)于對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，要注意以下兩點(diǎn)：一是利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圉，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立.如：log2(?3)(?5)二Iog2(?3

6、)+log2(?5)是不成立的,因?yàn)殡m然log2(?3)(?5)是存在的，但log2(-3)與log2(-5)是不存在的.二是不能將和、差、積、商、幕的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、幕混淆起來，即下面的等式是錯(cuò)誤的：loga(M±N)=logaM±logaN,loga(M?N)=logaM?logaN,M_,~N=ogN10ga呂?(3)解決對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a*1)的單調(diào)性問題吋，忽視對(duì)底數(shù)a的討論.(4)關(guān)于對(duì)數(shù)式logaN的符號(hào)問題，既受a的制約又受N的制約，兩種因素交織在一起，應(yīng)用時(shí)經(jīng)常出錯(cuò).下面介紹一種簡(jiǎn)

7、單記憶方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.以1為分界點(diǎn)，當(dāng)a,N同側(cè)時(shí),logaN>0；當(dāng)a,N異側(cè)時(shí),logaN<0.類型一、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用國(guó)1.將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：區(qū)log!9=~2⑴隔";(2)I(4)4625；⑸‘=16舉一反三：【變式1】求下列各式中X的值:log64x=(1)23(2)log^8=6(3)lgl00=x⑷?lng2=x類型二、利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值園僅.求值:舉一反三：【變式1】求嚴(yán)甩沁時(shí)的值@cwr+,且不等于1,N>o)類型三、積、商、幕的對(duì)數(shù)?！咀兪?】求值⑴2log525+3log26

8、4-Slog101(2)lg2?lg50+(lg5)2⑶Ig25+lg2?lg50+(lg2)2【變式2】已知3a=5jc,求c的值.q“b+c.q“aY、.【變式3】設(shè)a、b、c為正數(shù)，且滿足a2+b2=c2.求證：°S2+〒*°S2+〒-.a1.…、olg^