探究二次函數(shù)最值問題

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1、探究二次函數(shù)最值問題1.(，15安順14分)如圖，拋物線y=ax2+bx+-與直線AB交于點A(-1,0)、B(4,-).22點D是拋物線A,B兩點間部分上的一個動點(不與點A,B重合)，直線CD與y軸平行，交肓線AB于點C,連接AD、BD.(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點D的橫處標(biāo)為m,AADB的而積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時的點C的坐標(biāo).第1題圖【思路分析】(1)將拋物線上兩點A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式列方程紐?求解即可.(2)先根據(jù)直線過A、B兩點列方程并求出直線解析式，再用m表示出

2、C、D兩點坐標(biāo)得線段CD的長，由圖可知，S=SAACD+SABCD,根據(jù)三介形面積公式可得S關(guān)于m的二次函數(shù)，利用余弦法求出S最大時m的值即可計算此時C點的處標(biāo).解：(1)山題意得"

3、=0解得???y—非+2x+*-k+b=0(2)設(shè)直線AB為y=kx+b,則有＜4k+b=-解得則D(m,-—m2+2m+—),C(m,22—m+—),22CD=(-丄m2+2m+—)一22：.S=-(m+l)?CD+-99=丄X5XCD=-X5X22Va=--<0,4z11、123o(—m+—)=一一m+—m+厶2222(4-m)?CD(

4、-丄治人+2)=_2m2+15m+5；2244???拋物線開口向下.故當(dāng)m=—時,S有最大值,2業(yè)3心11131占m=—時，—m+—=—X—+—22222235?:點C(—,—).3當(dāng)s取最大值時的點c坐標(biāo)為q24丄)?42?如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(1,0)、B(-3,0)兩點.(1)求該拋物線的解析式;(2)設(shè)(1)屮的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得AQAC的周長最??？若存在，求岀Q點的處標(biāo);若不存在，請說明理由;(3)在(1)中的拋物線上的第二彖限上是否存在一點P,(

5、4)使APBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標(biāo)及APBC的面積最大值；若沒有，詰說明理由.解:(1)將A(1,0)、B(-3,0)代入y二-x'+bx+c中,得-1+b+c二0,-9-3b+c=0,b——2,c—3,???拋物線解析式為:y=-x-2x+3.(2)存在；理由如下：由題意知A、B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸x=-1對稱，??.肓線BC與x二-1的交點即為Q點，此時AAQC周長最小，Vy=-x2-2x+3,AC的坐標(biāo)為：(0,3),A直線BC解析式為y二x+3.「?Q點坐標(biāo)即為x=-l,y=x+3的解，解得x=-

6、l,y=2,???Q(-1,2).(3)存在.理由如下：VB(-3,0),C(0,3),?I水平寬a=xc-Xb=0-(-3)=3,設(shè)卩點(x,/-2x+3)且-3

7、-x2-2x+3=—,243IS???點P坐標(biāo)為.243.('15德州12分)已知拋物線y=-mx2+4x+2m與x軸交于點A(a,0)、B(B,0),且丄+丄=-2.a0(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸為1,與y軸的交點為C,頂點為D,點C關(guān)于1的對稱點為E,是否存在x軸上的點M,y軸上的點N,使四邊形DNME的周長最??？若存在，請畫出圖形(保留作圖痕跡)，并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由;(3)若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當(dāng)以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標(biāo).解：(1

8、)由題意可得：a、B是方程-mx2+4x+2m=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，4a+B二一，a0=一2,m???丄+丄二-2,???乞辺=-2,即如“2,a(3af3-2解得m二1,故拋物線解析式為y=-x~+4x+2；(2)存在x軸上的點M,y軸上的點N,使得四邊形DNME的周長最小,*.*y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6,???拋物線的對稱軸1為x=2,頂點D的坐標(biāo)為(2,6),又???拋物線與y軸交點C的坐標(biāo)為(0,2),點E與點C關(guān)于1對稱，???E點坐標(biāo)為:(4,2),作點D關(guān)于y軸的對稱點1T，點E

9、關(guān)于x軸的對稱點E，,則D'的坐標(biāo)為(-2,6),E'坐標(biāo)為：(4,-2),連接D‘E，,交x軸于M,交y軸于N,此時,四邊形DNME的周長最小為:D‘E‘+DE,如解圖①所示：延長E‘E,D，D交于一點F,在RtAD^EzF中，D‘F=6,EzF=8,則D，E，=a/62+82=10,設(shè)對稱軸1與CE交于點G,在R