解線性方程組

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1、解線性方程組的直接法對(duì)方程AX=b,矩陣A的維數(shù)是mxn,b為一給定的加維向量.則有(1)m=n恰定方程，尋求精確解;(2)m>n超定方程，尋求最小二乘解;(3)mn時(shí)，方程組個(gè)數(shù)比未知數(shù)多，上式為一超定方程組?一般而言，滿足方程AX=h的解將不存在，方程沒有精確解，在MATLAB中，利用左除命令X=Ab來尋求它的最小二乘解，即使

2、

3、AX-斫最小.還可以用廣義逆來求，即X=pinv^b,所得的解不一定滿

4、足AX=b,X只是最小二乘意義上的解?左除的方法是建立在奇異值分解基礎(chǔ)之上，由此獲得的解最可靠;廣義逆法是建立在對(duì)原超定方程直接進(jìn)行householder變換的基礎(chǔ)上，其算法可靠性稍遜于奇異值分解，但速度快.二、欠定方程組當(dāng)m

5、用矩陣求逆解法,即X=A~lb;(3)利用gauss消去法；(4)利用LU分解法求解.一般來說，對(duì)于維數(shù)不高、條件數(shù)不大的矩陣，上面4種解法所得的結(jié)果差別不大?前兩種解法的真正意義是在其理論上，而不是實(shí)際的數(shù)值計(jì)算?而Gauss消去法，其本質(zhì)上利用LU分解，在MATLAB屮，出于對(duì)算法穩(wěn)定性的考慮，行列式及逆矩陣的計(jì)算大都在LU分解的基礎(chǔ)上進(jìn)行?因此，在MATLAB中，求解這類方程組吋可直接采用表達(dá)式：X=Ab?(LU分解)若階矩陣A可逆且順序主子式不為零，則A可以分解為一個(gè)單位下三角陣厶和一個(gè)上三角陣U的積A=LU^并

6、且這種分解是唯一的?由于AX=LUX=b記t/X=Z,貝從而由厶Z=b求得Z=Lb,再由UX=Z求乂=UZ,X=U(Lb)MATLAB中，用[L,U]=lu{A)函數(shù)求得L,U,再用X=U(Lb)求得解.如果矩陣A是對(duì)稱正定矩陣，可采用Cholesky分解法，矩陣Cholesky分解定理為：如果A是對(duì)稱止定矩陣，則(至少)存在一個(gè)實(shí)的下三角矩陣厶使得A二Lli此外，我們可以限定矩陣厶的對(duì)角元素全部為正，那么，對(duì)應(yīng)的分解A=LIJ是唯一的.在MATLAB中，用厶=chol{A)函數(shù)求得厶，再用X=L(Lb)求

7、得解.Guass法(LU分解)Wcholesky法的基礎(chǔ)都是把線性方程組的矩陣分解為下三角矩陣和上三角矩陣的乘積，但對(duì)于對(duì)稱正定矩陣的情形，cholesky比Gauss法更加簡便.我們也口J以使用Householder法則把矩陣分解為正交矩陣0和上三角矩陣的乘積，稱為0?因子分解法.給定斤階矩陣A,則存在一個(gè)酉矩陣0,以及一個(gè)上三角矩陣R，使得A=此外，我們可以設(shè)法使矩陣R的對(duì)角元素都為正?如果A是可逆的，則這時(shí)所對(duì)應(yīng)的分解A=QR是唯一的?在MATLAB中，用[Q,R]=qr(A)函數(shù)求得Q,R，再用X=R(Qb)求

8、得解.線性方程組的最小二乘解線性最小二乘問題的解法在數(shù)據(jù)擬合、測(cè)量平差、控制理論等方面均得到廣泛的應(yīng)用。例如，已知〃對(duì)數(shù)據(jù)（GX）（其中心1,2,...,?。┖汀皞€(gè)已知函數(shù)勺⑴（其中XI,2,…，”）試構(gòu)造線性組合用該線性組合最佳地?cái)M合這加對(duì)數(shù)據(jù)（"」）（其中心1,2,??.,加）即我們希望適當(dāng)?shù)剡x取組合系數(shù)?（八1,2,…/），使得在某種范數(shù)意義下，誤差水力=X一XXjhj4),(i=1,2,…,m)能夠達(dá)到最小。令hj（dZ，（i=h2,…,m;j=,2,…，叭則上式可用矩陣向量形式把誤差向量表為心2—Ax,其中5（

9、x）、a2…4“、廠（X）=b(x)??■,A=a2???a22…a2n?????????ja川an2…%>b=（）W2'…‘兒匚兀=（兀"2'…心）丁當(dāng)加時(shí)，在上式中可要求廠（兀）=0,則估計(jì)“⑴宀,…,"的問題就轉(zhuǎn)化為求解線性方程組。當(dāng)加＞"時(shí),一般廠（兀"°,最小二乘問題就是適當(dāng)選取兀使誤差廠⑴在2范數(shù)意義下等于最小。給定矩陣朕C曲及向量處L，尋找XWC〃滿足llmw嚟陽汕這就是線性最小二乘問題，其解也稱為線性方程組山汕恥嚴(yán)的最小二乘解。在方程組不相容情形，它可視為方程組在最小二乘意義下的最優(yōu)近似解。在方程組相容

10、時(shí),則最小二乘解與通常意義下的解是一致的。奇異值分解1、奇異值與奇異值分解定理奇異值定理：設(shè)AY：r=rank(A),則一定存在加階酉矩陣U和〃階酉矩陣V和對(duì)角矩陣》=diag((TQ2,…且而00=1,2,…，廠)，使得A=u^vH,稱為A的奇杲值分解。復(fù)數(shù)域內(nèi)的奇異值：設(shè)Aecr>0),A円砒特征