勾股定理(基礎(chǔ))經(jīng)典例題講義設(shè)計

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1、勾股定理（基礎(chǔ)）【學習目標】1.掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗數(shù)形結(jié)合的思想；2.能夠運用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長（只限于常用的數(shù)）；3.通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題.【要點梳理】要點一、勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長nJ?以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目

2、的.（3）理解勾股定理的一些變式：a2=c2—b2,b1=c2—a2,c2=(6/+—2ab.要點二、勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中$正方私8蝕=（&+&『=/+4,所以/+護=＜；2方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖⑵中攜訛血仞之2=（b_a）2+4xl必，所以c2=a2+b2.2方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.要點三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.與勾股定理有關(guān)的面積計算；4.勾股定理在實際生活中的應用.【典

3、型例題】類型一、勾股定理的直接應用V1、在ZABC中，ZC=90°,ZA、ZB、ZC的對邊分別為d、b、c.(1)若a=5,b=12,求c；(2)若c=26,h=24,求a.【思路點撥】利用勾股定理a2-^b2=c2來求未知邊長.【答案與解析】解：(1)因為AABC屮，ZC=90°,cr+b2=c2,d=5,b=12,所以疋=/+戾=52+丄2=25+144=169?所以c=13?(2)因為中，ZC=90°,a2+b2=c2tc=26,b=24,所以a2=c2-h2=262-242=676-576=100.所以a=10.【總結(jié)升華】已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長，關(guān)鍵是先

4、弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再決定用勾股原式還是變式.舉一反三：【變式】在ZABC中，ZC=90°,ZA、ZB、ZC的對邊分別為a、b、c.(1)己知b=6,c=10,求a；(2)已知a:c=3:5,b=32,求a、c.【答案】解：(1)?.?ZC=90°,b=6,c=10,a2=c2—h2=102—62=64,?：a=8.(2)設(shè)a=3k,c=5k,???ZC=90°,b=32,.??a1+h2=c2.即(3幻2+32?=(5幻2.解得k=&a=3R=3x8=24,c=5k=5x8=40.類型二、與勾股定理有關(guān)的證明2、閱讀下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，

5、下面是教材屮介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法.先做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a,b,斜邊為c,然后按圖1的方法將它們擺成正方形.由圖1可以得到(a+b)2=4xlab+c2,2整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2.所以a2+b2=c2.如果把圖1中的四個全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請你參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空：由圖2可以得到,整理，得,所以.■M719證明：TS大正方形-c,S大正方形=4Sa+S小正方形=4=ab+(b-a),2c2=4x丄ab+(b-a)2,2整理，得2ab+b2-2ab+a2=c2,?22」「2??c=a

6、+b?故答案是：4X丄&b+(b-a)2=c2;2ab+b??2ab+a2=c?；a2+b2=c2.2【總結(jié)升華】本題考查利用圖形面積的關(guān)系證明勾股定理，解題關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長的關(guān)系進行組合圖形.舉一反三：【變式】如圖，在厶ABC中，ZC=90°,D為BC邊的屮點，DE丄AB于E,則AE2-BE2等于()A.AC2B?BD2C.BC2D?DE2【答案】連接AD構(gòu)造直角三角形，得AE2一BE2=AD2一DS2一BD2+DE2=AD2-BD2=AD2-DC2=AC選A>類型三、與勾股定理有關(guān)的線段長Wr3、如圖，長方形紙片ABCD>

7、',已知AD=8,折柱紙片使AB邊與

8、對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE,且EF=3,則AB的長為（）A.3B.4C.5D.6AD【答案】D；【解析】解：設(shè)AB=x,則AF=x,???AABE折疊后的圖形為AAFE,???AABE^AAFE.BE=EF,EC=BC-BE=8-3=5,在RtAEFC屮，由勾股定理解得FC=4,在RtAABC中，x2+82=(x+4)2,解得x=6.【總結(jié)升華】折疊問題包括“全等形”、“勾股定理”兩大問題，最后通過勾股定理求解.類型四、與勾股定理有關(guān)的面積計算矽"1、如圖，直線1上有三個正方