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1、第十章無窮級數(shù)§10.1無窮級數(shù)的基本概念§10.2無窮級數(shù)的基本性質§10.3常數(shù)項級數(shù)的收斂性判別法§10.4函數(shù)項級數(shù)與冪級數(shù)§10.5函數(shù)的冪級數(shù)展開一、無窮級數(shù)的概念1、無窮級數(shù)的概念定義1設給定一個數(shù)列：稱（1）為無窮級數(shù)，簡稱級數(shù).一般項為無窮級數(shù)，簡稱級數(shù).為數(shù)時，稱為數(shù)項級數(shù).為x的函數(shù)時，稱為函數(shù)項級數(shù).前項和稱為(1)的部分和.構成一個新的數(shù)列:2、級數(shù)的收斂與發(fā)散稱為部分和數(shù)列記若不存在,則稱級數(shù)(1)發(fā)散.若稱為級數(shù)(1)的余項若則稱級數(shù)(1)收斂,且收斂和為定義23、數(shù)項級
2、數(shù)的斂散性的概念若則稱級數(shù)(1)收斂,且收斂和為所以,級數(shù)發(fā)散.例1.判別級數(shù)的斂散性.解例2.判別級數(shù)的斂散性.解所以,原級數(shù)收斂,且收斂和為1.例4.判別級數(shù)的斂散性.解:(1).級數(shù)收斂.例5.討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))的斂散性（q稱為級數(shù)的公比，a?0）解:1).當時,,發(fā)散;3).當時,當時,,收斂;2).當時,,發(fā)散;當時,,發(fā)散.當時,收斂于當時,發(fā)散.發(fā)散例如例4.證明調和級數(shù)發(fā)散.證明反證法與假設矛盾，所以,原級數(shù)必發(fā)散于是二、無窮級數(shù)的基本性質性質1證若則證收斂級數(shù)的線性組合仍收斂.
3、性質2性質3證加括號后得(2)(2)的前m項和相當于(1)的前n項和.收斂級數(shù)加括號后所得新級數(shù)仍收斂,且收斂和不變顯然，{Wm}是{Sn}的一個子數(shù)列設(1)(1).收斂級數(shù)去掉括號后所得級數(shù)未必收斂.反例:收斂,(2).若加括號后所得級數(shù)收斂,則原級數(shù)未必收斂.注意(3).若加括號后所得級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)發(fā)散.性質4增加、去掉或改變級數(shù)的前有限項，級數(shù)斂散性不變.證級數(shù)(1)去掉前項得級數(shù)(2)為常數(shù),故當時,與的極限同時存在或不存在.所以級數(shù)(1)與(2)具有相同的斂散性.其它情況類似可證.級數(shù)
4、(2)的前n項和為例如,與具有相同的斂散性,均收斂.但收斂和不同級數(shù)的斂散性與前有限項無關.性質5證（1).條件必要而不充分,即逆命題不成立.由,不能斷定收斂.收斂，（級數(shù)收斂的必要條件）若則注意例如,調和級數(shù)但該級數(shù)發(fā)散(2).逆否命題成立.若則一定發(fā)散.例如,因發(fā)散例4.判別級數(shù)的斂散性.解:(1).級數(shù)收斂.1、正項級數(shù)及其斂散性判別正項級數(shù)：部分和數(shù)列單增：正項級數(shù)收斂的充要條件是部分和數(shù)列有界.定理1三、常數(shù)項級數(shù)收斂性判別法2、正項級數(shù)斂散性的判別(比較判別法)設1).若收斂,則收斂;2)
5、.若發(fā)散,則發(fā)散.證.定理2推論設都是正項級數(shù),2）若發(fā)散，則發(fā)散。1）若收斂，則收斂。級數(shù),當時收斂;當時發(fā)散.結論比較判別法:將要判定的級數(shù)與已知收斂或發(fā)散的級數(shù)作比較解發(fā)散.則當時,有當時;例如,發(fā)散;收斂.例1.判別下列級數(shù)的斂散性:解發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散故原級數(shù)收斂.收斂,例2解定理3設為正項級數(shù),(1)若則斂散性相同.(比較判別法的極限形式)(2)若則(2)若則例1.判別下列級數(shù)的斂散性:解發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散收斂,故原級數(shù)收斂發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散例2.判別級數(shù)的斂散性:解取因發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散
6、.例3.判別級數(shù)的斂散性.解取收斂,故原級數(shù)收斂.例4.判別級數(shù)的斂散性.解而級數(shù)收斂,故原級數(shù)收斂.取定理4設正項級數(shù)當時,級數(shù)收斂;當發(fā)散;當時,斂散性不定.(比值判別法)解:級數(shù)收斂.級數(shù)發(fā)散.例5.判別級數(shù)的斂散性:級數(shù)收斂.解.級數(shù)收斂.例6.判別級數(shù)的斂散性:收斂,故原級數(shù)收斂.收斂,故原級數(shù)收斂.而定理5設正項級數(shù)當時,級數(shù)收斂;當發(fā)散;當時,斂散性不定.(柯西根值判別法)例7.判別級數(shù)的斂散性:解.級數(shù)收斂.級數(shù)收斂.原級數(shù)收斂.2、交錯級數(shù)及其判別法交錯級數(shù)：或即，正負項相間的級數(shù)為
7、交錯級數(shù)。定理若滿足:則級數(shù)收斂,其余項(萊布尼茨定理)且證.單增且有上界,證畢故例1.判定級數(shù)的斂散性:解.所以級數(shù)收斂.所以級數(shù)收斂.例3.判定級數(shù)的斂散性,解原級數(shù)發(fā)散.解原級數(shù)收斂.（1）任意項級數(shù)：為任意實數(shù).3、任意項級數(shù)的絕對收斂和條件收斂正項級數(shù),交錯級數(shù)是任意項級數(shù)的特殊情況必定收斂.證設收斂,令由正項級數(shù)比較判別法知收斂.收斂,若級數(shù)則級數(shù)定理71).逆命題不成立.注意由性質知,收斂.證畢.發(fā)散收斂.例如解故由定理知原級數(shù)收斂.對應的正項級數(shù)為1).若收斂,則稱為絕對收斂.2).若
8、收斂,但發(fā)散,則稱為條件收斂.（2）絕對收斂、條件收斂.正項級數(shù)收斂時一定是絕對收斂注意解故由定理知原級數(shù)收斂.對應的正項級數(shù)為例2.判定級數(shù)的斂散性,若收斂,指出是絕對收斂還是條件收斂?解故原級數(shù)絕對收斂.例3.判定級數(shù)的斂散性,若收斂,指出是絕對收斂還是條件收斂?解對應的正項級數(shù)為因為所以發(fā)散所以有故原級數(shù)收斂，且為條件收斂。定理8設任意項級數(shù)當時,級數(shù)絕對收斂;當發(fā)散;當時,斂散性不定.發(fā)散.若由比值審斂法或根值審斂法判定發(fā)散,則可以斷定注意例4.
