數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)----立體幾何 數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)----立體幾何

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1、高二數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)第三講立體幾何解題的基本策略一、點(diǎn)、線、面間關(guān)系的轉(zhuǎn)化立體幾何的知識(shí)告訴我們，最核心的內(nèi)容是線面間的的垂直、平行關(guān)系，而它們又通過判定定理、性質(zhì)定理而相互轉(zhuǎn)化。定理的應(yīng)用過程實(shí)質(zhì)上就是下述諸關(guān)系的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。點(diǎn)面點(diǎn)點(diǎn)——點(diǎn)線————————線面——面面線線例1(如圖)二面角α—AB—β的平面角為300，在β上作AD⊥AB，AD=10，過D作CD⊥α于D,若∠ACB=600，求AC與BD的距離。解作BE∥AC，CE∥AB,連EC,ED，則AC∥面BCE，直線AC到面BDE的距離就是AC到BD的距離.這時(shí)，AC上任一點(diǎn)到面BDE的距離就是所求.CB

2、EAHDβα由DC⊥α知，DC⊥AC;又AD⊥AB，根據(jù)三垂線定理，AC⊥AB.但AB∥AC,故AC⊥CE.從而AC⊥面CDE。又BE∥AC,得BE⊥面CDE,進(jìn)而面BDE⊥面CDE，在Rt?CDE上作高CH，由Rt?ACD中,∠CAD=300為二面角的平面角.AD=10,得AC=5,CD=5;又在Rt?ABC中，∠ACB=600,有CE=AB=AC=15,最后在Rt?ACD中，由CE=AB=15,得DE=5,從而CH==三個(gè)步驟:一、線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離ABCDEH二、再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離三、計(jì)算距離解法二用體積法計(jì)算VD-BCE=VC-BDE.解法三外接于一

3、個(gè)長方體用補(bǔ)形的方法解決CEBADH二、平面化的思考在空間,選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠矫?使問題在這個(gè)平面上獲得突破性的進(jìn)展,甚至全部解決,是一種自然而重要的思考,怎樣選取平面呢?有以下幾個(gè)主要方法1、截面法2、隔離法3、展平法4、投影法例2、在正方體ABCD—A1B1C1D1中，設(shè)?C1D1B所在的半平面為α，?CD1B所在的半平面為β，BD1所在的直線是α與β的交線。求二面角α—BD1—β的度數(shù)ABCDA1B1C1D1MN因?yàn)槎娼堑钠矫娼堑亩葦?shù)是由相應(yīng)平面角的來表示的，所以解題的一個(gè)方向是找平面角。分析解在平面ABC1D1上，由點(diǎn)A向BD1引垂線，與BD1交于M,

4、與BC1交于N，連CM，由于正方體關(guān)于面BB1D1D的對(duì)稱性，必有CM⊥BD1，因此，∠NMC就是二面角的平面設(shè)正方體的棱長為，則AC2=CD12=2a2，AM2=MC2=a2,在?AMC中，由余弦定理得∠AMC=1200，從而∠MAC=600，即二面角α—BD1—β的度數(shù)為600。MCDABNABCDMN例5、若空間四邊形的兩組對(duì)邊相等，則兩條對(duì)角線的中點(diǎn)連線垂直對(duì)角線。三、圖形變換證明如圖，空間四邊形ABCD中，M,N是對(duì)角AC,BD的中點(diǎn)，現(xiàn)將A與C交換,B與D交換，得到同一位置的空間四邊形，而這個(gè)四邊形又可看作一個(gè)繞著某一軸（軸對(duì)稱）旋轉(zhuǎn)1800得到另

5、一個(gè)，由A與C關(guān)M于對(duì)稱，B與D關(guān)于N對(duì)稱知，對(duì)稱軸必經(jīng)過MN，從MN⊥AC，MN⊥BD。ABCDMMCDABN證明2、將?ACD繞AC展平到面ACD上，得ABCD，則BD與AC相交與M，BM=MD。再將圖形復(fù)原，由BM=MD，BN=ND知MN是等腰三角形?MBD底邊上的高，有MN⊥BD。同理MN⊥AC。DCBANM圖形變換包括1、空間的對(duì)稱2、空間的旋轉(zhuǎn)3、空間的折疊4、空間的展平直觀上補(bǔ)充成為長方體，則MN是上下底面中心的連線，它與上下底面都垂直，當(dāng)然是同時(shí)垂直于AC,BD.C1C1CAABCDDB1D1例4、如圖，已知給一個(gè)長方體，其共頂點(diǎn)的3條棱互不相

6、等，現(xiàn)在要由一頂點(diǎn)沿表面到對(duì)角頂點(diǎn)，求最短的線路。ABDCA1B1C1D1分析：將長方體各面展于同一平面上（可省去底面ABCD）由兩點(diǎn)間距離最短知，有三條相對(duì)短的走法，設(shè)三條共點(diǎn)棱長為AB=a,AD=b，AA1=c，且由勾股定理可算得AFC1最短。FF四、體積法用兩種方法計(jì)算同一體積，從而得出未知數(shù)的等量關(guān)系，這是平面幾何的面積法的直接推廣，用這種方法求點(diǎn)到平面的距離時(shí)，可免去找距離線段或論證垂直關(guān)系的推理過程，在種方法多用于四面體和長方體，因?yàn)樗鼈儗?duì)底面的選擇有很大的自由度，可以方便地“換底”例5如圖，已知ABCD是邊長為4的正方形，E，F(xiàn)分別是AB,AD的

7、中點(diǎn)，CG垂直于ABCD所在的平面，且CG=2，求B點(diǎn)到平面GEF的距離。EFCABDGEFABCDGH解連BF，BG,有=2記H為AC與EF的交點(diǎn)，由CG為平面AC的垂線，AC⊥EF知，CH⊥EF,且由，知，根據(jù)等積關(guān)系，有得到B到平面GEF的距離是.五、基本圖形法立體幾何中的基本圖形是正方體，熟練掌握正方體的基本性質(zhì)和各類線面關(guān)系，對(duì)于解題是非常有益的，一旦遇到新問題，我們或者補(bǔ)充為一個(gè)正方體，或者分割成幾個(gè)正方體，“能割善補(bǔ)”是學(xué)習(xí)立體幾何的訣竅。例6有三個(gè)邊長為的正方形，分別將每一個(gè)正方形的一個(gè)角按兩鄰邊中點(diǎn)連線剪下，按圖分別接在邊長為a的正六邊形各邊

8、上，然后沿正六邊形各邊將其余部分折起，