北京市海淀區(qū)高三二模（理科）試卷及答案

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1、海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)（理科）2017.5本試卷共4頁(yè)，150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.若集合，或，則A.B.C.D.2.二項(xiàng)式的展開式的第二項(xiàng)是A.B.C.D.3.已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值為A.B.C.D.4.圓與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．4B．3C．2D.05.已知為無窮等比數(shù)列，且公比，記為的前項(xiàng)和，則下面結(jié)論正確的是A.B.C.是遞增數(shù)列D.存在最小值6.已知是上的奇函數(shù)，則“”是

2、“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.現(xiàn)有編號(hào)為①、②、③的三個(gè)三棱錐（底面水平放置），俯視圖分別為圖1、圖2、圖3，則至少存在一個(gè)側(cè)面與此底面互相垂直的三棱錐的所有編號(hào)是A.①B.①②C.②③D.①②③8.已知兩個(gè)半徑不等的圓盤疊放在一起（有一軸穿過它們的圓心），兩圓盤上分別有互相垂直的兩條直徑將其分為四個(gè)區(qū)域，小圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為，大圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為,如圖所示.將小圓盤逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)，記為轉(zhuǎn)動(dòng)次后各區(qū)域內(nèi)兩數(shù)乘積之和，例如.若，，則以下結(jié)論正確的是A.中至少有一個(gè)為正數(shù)B.中至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)C

3、.中至多有一個(gè)為正數(shù)D.中至多有一個(gè)為負(fù)數(shù)二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9.在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)到直線的距離為.10.已知復(fù)數(shù)，則____.11.在中，，，則_______.12.已知函數(shù)，則____（填“”或“”）；在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則正整數(shù)_____.13.在四邊形中，.若，則=____.14.已知橢圓G：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為和，點(diǎn)P在橢圓G上，且滿足.當(dāng)變化時(shí)，給出下列三個(gè)命題：①點(diǎn)P的軌跡關(guān)于軸對(duì)稱；②存在使得橢圓上滿足條件的點(diǎn)僅有兩個(gè)；③的最小值為，其中，所有正確命題的序號(hào)是_____________．三、解答題共6小題，共80分

4、。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。15.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期和對(duì)稱軸的方程；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值.16.（本小題滿分13分）為了響應(yīng)教育部頒布的《關(guān)于推進(jìn)中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見》,某校計(jì)劃開設(shè)八門研學(xué)旅行課程，并對(duì)全校學(xué)生的選擇意向進(jìn)行調(diào)查(調(diào)查要求全員參與，每個(gè)學(xué)生必須從八門課程中選出唯一一門課程).本次調(diào)查結(jié)果整理成條形圖如下.上圖中，已知課程為人文類課程，課程為自然科學(xué)類課程.為進(jìn)一步研究學(xué)生選課意向，結(jié)合上面圖表，采取分層抽樣方法從全校抽取的學(xué)生作為研究樣本組(以下簡(jiǎn)稱“組M”).(Ⅰ)在“組M”中，選擇人文類課程和自然

5、科學(xué)類課程的人數(shù)各有多少？(Ⅱ)為參加某地舉辦的自然科學(xué)營(yíng)活動(dòng)，從“組M”所有選擇自然科學(xué)類課程的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)前往，其中選擇課程F或課程H的同學(xué)參加本次活動(dòng)，費(fèi)用為每人1500元，選擇課程G的同學(xué)參加，費(fèi)用為每人2000元.(ⅰ)設(shè)隨機(jī)變量表示選出的4名同學(xué)中選擇課程的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列；(ⅱ)設(shè)隨機(jī)變量表示選出的4名同學(xué)參加科學(xué)營(yíng)的費(fèi)用總和，求隨機(jī)變量的期望.17.（本小題滿分14分）如圖，三棱錐，側(cè)棱，底面三角形為正三角形，邊長(zhǎng)為，頂點(diǎn)在平面上的射影為，有，且.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)使得⊥平面，如果存在，求的

6、值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.18.（本小題滿分14分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)和直線l：的距離相等.（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡E的方程；（Ⅱ）已知不與垂直的直線與曲線E有唯一公共點(diǎn)A，且與直線的交點(diǎn)為，以AP為直徑作圓.判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．19.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（Ⅰ）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：存在實(shí)數(shù)使.20.（本小題滿分13分）對(duì)于無窮數(shù)列，記，若數(shù)列滿足：“存在，使得只要（且），必有”，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（Ⅰ）若數(shù)列滿足判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？是否具有性質(zhì)？（Ⅱ）求證：“是有限集”是“數(shù)列具有性質(zhì)”的必要不充分條件；（Ⅲ）已知是

7、各項(xiàng)為正整數(shù)的數(shù)列，且既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，求證：存在整數(shù)，使得是等差數(shù)列.