計算機輔助設(shè)計與制造課件CAD4

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1、第4章圖形坐標(biāo)變換與裁剪4.1二維圖形的坐標(biāo)變換在圖形顯示過程中，用戶需對圖形進行平移、放大、旋轉(zhuǎn)等基本的幾何變換操作。圖形的平移、放大、旋轉(zhuǎn)從數(shù)學(xué)上看都是幾何性質(zhì)的“變換”，故又稱為圖形的幾何變換。1．二維圖形坐標(biāo)變換的基本原理：(1)平移變換：一個點P(x,y)平移到P*(x*,y*)，平移后產(chǎn)生的新坐標(biāo)如下：x*=x+Dxy*=y+Dy(2)變比例變換：X*=SxXY*=SyY(3)旋轉(zhuǎn)變換：X*=Xcosα-YsinαY*=Xsinα+Ycosα2．坐標(biāo)變換的矩陣表示形式：一個點的坐標(biāo)可以用矩陣形式[xy]或表示，坐標(biāo)變換的矩陣表示形式為：[X*Y*

2、]=[XY]=[aX+cYbX+dY]其中：T=為變換矩陣。注意，不論變換矩陣中的元素a、b、c、d為何值時，都不能使圖形產(chǎn)生平移變換，即用2行2列的變換矩陣不能實現(xiàn)圖形的平移變換。這就需要使用圖形的另一種表示方法—齊次坐標(biāo)。3．齊次坐標(biāo)與齊次變換矩陣：為了進行平移變換，要給二維點的位置矢量增加一個附加坐標(biāo)，使之成為三維行向量[xyl]，即用點的齊次坐標(biāo)表示，這樣便可進行運算了。(1)齊次坐標(biāo)：齊次坐標(biāo)是將一個n維空間的點用n+1維坐標(biāo)來表示。如在直角坐標(biāo)系中，二維點[xy]的齊次坐標(biāo)通常用三維坐標(biāo)[HxHyH]表示，一個三維點[xyz]的齊次坐標(biāo)通常用四維

3、坐標(biāo)[HxHyHzH]表示。在齊次坐標(biāo)系中，最后一維坐標(biāo)H稱為比例因子。三維直角坐標(biāo)與其齊次坐標(biāo)的關(guān)系是：x=Hx/Hy=Hy/Hz=Hz/H由于H的取值是任意的，所以任一點可用多組齊次坐標(biāo)表示。在一般使用中，總是將H設(shè)為“1”，以保持兩種坐標(biāo)的一致。(2)齊次變換矩陣：對于二維坐標(biāo)系上的點，齊次坐標(biāo)為[HxHyH],而齊次坐標(biāo)變換矩陣的形式是：T=4．二維復(fù)合變換：實際上，上述介紹的幾種基本變換一般不單獨出現(xiàn)，通常出現(xiàn)的都是復(fù)合變換。有的圖形須經(jīng)過多次基本變換才能完成，這種由兩個以上基本變換構(gòu)成的變換稱為復(fù)合變換。設(shè)各次變換的變換矩陣分別為T1，T2，…，

4、Tn，則復(fù)合變換矩陣是各次變換矩陣的乘積。例：當(dāng)圖形要對畫面中的某一點(x0,y0)作放大時，可通過如下三種基本變換復(fù)合而成：(1)首先將坐標(biāo)原點（0，0）平移至（x0，y0）(2)然后圖形以（x0，y0）為中心作放大(3)最后將坐標(biāo)原點自（x0，y0）的位置移回原處（0，0）則以點（x0，y0）為中心，放大系數(shù)分別為Sx、Sy的復(fù)合變換矩陣為：T=T1·T2·T3=同理，當(dāng)圖形繞坐標(biāo)原點以外的任意點（x0，y0）作旋轉(zhuǎn)時，也可以通過三種基本變換復(fù)合而成，即將旋轉(zhuǎn)中心平移到坐標(biāo)原點，其變換矩陣為T1；然后使圖形繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)α角，變換矩陣為T2；最后將旋轉(zhuǎn)中

5、心平移回原來的位置，其變換矩陣為T3。則繞坐標(biāo)原點以外的任意點旋轉(zhuǎn)α角的復(fù)合變換矩陣為：T=T1·T2·T3=4.2三維圖形的坐標(biāo)變換三維圖形的坐標(biāo)變換是二維圖形坐標(biāo)變換的簡單擴展。三維齊次坐標(biāo)變換矩陣的形式是：T=4.2.1三維基本變換1．比例變換：2．反射（對稱）變換：(1)對xoy平面的反射變換(2)對xoz平面的反射變換(3)對yoz平面的反射變換。齊次變換矩陣為：3．平移變換：4．旋轉(zhuǎn)變換：(1)繞X軸旋轉(zhuǎn)α角(2)繞Y軸旋轉(zhuǎn)α角(3)繞Z軸旋轉(zhuǎn)α角4.2.2三維基本變換矩陣的組合1．繞通過坐標(biāo)原點的任意軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣2．繞通過任意點P(l，m，

6、n)，方向余弦分別為、、的軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣4.3三維圖形變換的應(yīng)用4.3.1正投影變換正投影變換可得到國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的六個基本視圖—主視圖、俯視圖、左視圖、右視圖、仰視圖和后視圖。1．主視圖變換矩陣主視圖變換矩陣為：2．俯視圖變換矩陣俯視圖變換矩陣為：TH=3．左視圖變換矩陣左視圖變換矩陣為：TW=4.3.2正軸測投影變換正軸測投影圖是工程上應(yīng)用廣泛的二維圖形。其變換矩陣為：T正軸測=（4-1）在上述所示的正軸測投影變換矩陣中，只要給θ、φ不同的值，就可得到不同的正軸測投影圖。1．正等軸測投影變換矩陣按國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，以θ=45°、φ=35.2644°代入式（4

7、-1），即可得到正等軸測投影變換矩陣。2．正二等軸測投影變換矩陣按國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，以θ=20.7°、φ=19.47°代入式（4-1），即可得到正二等軸測投影變換矩陣。4.3.3透視投影變換透視圖是采用中心投影法得到的圖形，即通過投視中心（視點），將空間立體投射到二維平面（投影面）上所產(chǎn)生的圖形。1．透視變換矩陣2．一點透視變換4.4開窗與裁剪4.4.1基本概念和術(shù)語1．用戶坐標(biāo)系（世界坐標(biāo)系）2．屏幕坐標(biāo)（設(shè)備坐標(biāo)）3．窗口4．視區(qū)5．裁剪4.4.2窗口—視區(qū)變換4.4.3二維圖形的裁剪1．點的裁剪在圖形剪裁中，最基本的是點的裁剪。對于某一點P(x，y)，只要

8、滿足xmin≤x≤xmaxymin≤y≤ymax則該