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1、第4章圖形坐標變換與裁剪4.1二維圖形的坐標變換在圖形顯示過程中，用戶需對圖形進行平移、放大、旋轉等基本的幾何變換操作。圖形的平移、放大、旋轉從數(shù)學上看都是幾何性質的“變換”，故又稱為圖形的幾何變換。1．二維圖形坐標變換的基本原理：(1)平移變換：一個點P(x,y)平移到P*(x*,y*)，平移后產生的新坐標如下：x*=x+Dxy*=y+Dy(2)變比例變換：X*=SxXY*=SyY(3)旋轉變換：X*=Xcosα-YsinαY*=Xsinα+Ycosα2．坐標變換的矩陣表示形式：一個點的坐標可以用矩陣形式[xy]或表示，坐標變換的矩陣表示形式為：[X*Y*
2、]=[XY]=[aX+cYbX+dY]其中：T=為變換矩陣。注意，不論變換矩陣中的元素a、b、c、d為何值時，都不能使圖形產生平移變換，即用2行2列的變換矩陣不能實現(xiàn)圖形的平移變換。這就需要使用圖形的另一種表示方法—齊次坐標。3．齊次坐標與齊次變換矩陣：為了進行平移變換，要給二維點的位置矢量增加一個附加坐標，使之成為三維行向量[xyl]，即用點的齊次坐標表示，這樣便可進行運算了。(1)齊次坐標：齊次坐標是將一個n維空間的點用n+1維坐標來表示。如在直角坐標系中，二維點[xy]的齊次坐標通常用三維坐標[HxHyH]表示，一個三維點[xyz]的齊次坐標通常用四維
3、坐標[HxHyHzH]表示。在齊次坐標系中，最后一維坐標H稱為比例因子。三維直角坐標與其齊次坐標的關系是：x=Hx/Hy=Hy/Hz=Hz/H由于H的取值是任意的，所以任一點可用多組齊次坐標表示。在一般使用中，總是將H設為“1”，以保持兩種坐標的一致。(2)齊次變換矩陣：對于二維坐標系上的點，齊次坐標為[HxHyH],而齊次坐標變換矩陣的形式是：T=4．二維復合變換：實際上，上述介紹的幾種基本變換一般不單獨出現(xiàn)，通常出現(xiàn)的都是復合變換。有的圖形須經過多次基本變換才能完成，這種由兩個以上基本變換構成的變換稱為復合變換。設各次變換的變換矩陣分別為T1，T2，…，
4、Tn，則復合變換矩陣是各次變換矩陣的乘積。例：當圖形要對畫面中的某一點(x0,y0)作放大時，可通過如下三種基本變換復合而成：(1)首先將坐標原點（0，0）平移至（x0，y0）(2)然后圖形以（x0，y0）為中心作放大(3)最后將坐標原點自（x0，y0）的位置移回原處（0，0）則以點（x0，y0）為中心，放大系數(shù)分別為Sx、Sy的復合變換矩陣為：T=T1·T2·T3=同理，當圖形繞坐標原點以外的任意點（x0，y0）作旋轉時，也可以通過三種基本變換復合而成，即將旋轉中心平移到坐標原點，其變換矩陣為T1；然后使圖形繞坐標原點旋轉α角，變換矩陣為T2；最后將旋轉中
5、心平移回原來的位置，其變換矩陣為T3。則繞坐標原點以外的任意點旋轉α角的復合變換矩陣為：T=T1·T2·T3=4.2三維圖形的坐標變換三維圖形的坐標變換是二維圖形坐標變換的簡單擴展。三維齊次坐標變換矩陣的形式是：T=4.2.1三維基本變換1．比例變換：2．反射（對稱）變換：(1)對xoy平面的反射變換(2)對xoz平面的反射變換(3)對yoz平面的反射變換。齊次變換矩陣為：3．平移變換：4．旋轉變換：(1)繞X軸旋轉α角(2)繞Y軸旋轉α角(3)繞Z軸旋轉α角4.2.2三維基本變換矩陣的組合1．繞通過坐標原點的任意軸的旋轉變換矩陣2．繞通過任意點P(l，m，
6、n)，方向余弦分別為、、的軸的旋轉變換矩陣4.3三維圖形變換的應用4.3.1正投影變換正投影變換可得到國家標準規(guī)定的六個基本視圖—主視圖、俯視圖、左視圖、右視圖、仰視圖和后視圖。1．主視圖變換矩陣主視圖變換矩陣為：2．俯視圖變換矩陣俯視圖變換矩陣為：TH=3．左視圖變換矩陣左視圖變換矩陣為：TW=4.3.2正軸測投影變換正軸測投影圖是工程上應用廣泛的二維圖形。其變換矩陣為：T正軸測=（4-1）在上述所示的正軸測投影變換矩陣中，只要給θ、φ不同的值，就可得到不同的正軸測投影圖。1．正等軸測投影變換矩陣按國家標準規(guī)定，以θ=45°、φ=35.2644°代入式（4
7、-1），即可得到正等軸測投影變換矩陣。2．正二等軸測投影變換矩陣按國家標準規(guī)定，以θ=20.7°、φ=19.47°代入式（4-1），即可得到正二等軸測投影變換矩陣。4.3.3透視投影變換透視圖是采用中心投影法得到的圖形，即通過投視中心（視點），將空間立體投射到二維平面（投影面）上所產生的圖形。1．透視變換矩陣2．一點透視變換4.4開窗與裁剪4.4.1基本概念和術語1．用戶坐標系（世界坐標系）2．屏幕坐標（設備坐標）3．窗口4．視區(qū)5．裁剪4.4.2窗口—視區(qū)變換4.4.3二維圖形的裁剪1．點的裁剪在圖形剪裁中，最基本的是點的裁剪。對于某一點P(x，y)，只要
8、滿足xmin≤x≤xmaxymin≤y≤ymax則該
