圖像變換與二維數(shù)字濾波

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1、Slide1第4章圖像變換與二維數(shù)字濾波Slide2內(nèi)容提要主要介紹圖像處理中常用的二維離散變換的定義、性質(zhì)、實(shí)現(xiàn)方法及應(yīng)用。經(jīng)典變換——離散傅里葉變換（DFT）離散余弦變換（DCT）離散沃爾什-哈達(dá)瑪變換（DWT）K-L變換（KLT）離散小波變換（DWT）及其應(yīng)用二維數(shù)字濾波的定義、設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)Slide3知識(shí)要點(diǎn)余弦型變換：傅里葉變換和余弦變換。方波型變換：沃爾什-哈達(dá)瑪變換?；谔卣飨蛄康淖儞Q：K-L變換。從哈爾變換、短時(shí)傅里葉變換到小波變換。各種變換的定義和有關(guān)快速算法及實(shí)現(xiàn)方法。二維數(shù)字濾波的

2、定義、設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)Slide44.1二維離散傅里葉變換（DFT）4.1.1二維連續(xù)傅里葉變換定義：設(shè)f(x,y)是獨(dú)立變量x和y的函數(shù)，且在±∞上絕對(duì)可積，則定義積分為二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換，并定義為F(u,v)的反變換。f(x,y)和F(u,v)為傅里葉變換對(duì)。Slide5【例4.1】求圖4.1所示函數(shù)的傅里葉變換。解：圖4.1二維信號(hào)f(x,y)其幅度譜為Slide6二維信號(hào)的頻譜圖（a）信號(hào)的頻譜圖（b）圖（a）的灰度圖圖4.2信號(hào)的頻譜圖Slide9DFT幅度譜的特點(diǎn)①頻譜的直流成

3、分說(shuō)明在頻譜原點(diǎn)的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級(jí)。②幅度譜

4、F(u,v)

5、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。③圖像f(x,y)平移后，幅度譜不發(fā)生變化，僅有相位發(fā)生變化。Slide104.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)1．變換可分離性二維DFT可以用兩個(gè)可分離的一維DFT之積表示：式中，結(jié)論：（1）二維變換可以通過(guò)先進(jìn)行行變換再進(jìn)行列變換的兩次一維變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。（2）也可以通過(guò)先求列變換再求行變換得到二維傅里葉變換。Slide11圖4.4用兩次一維DFT計(jì)算二維DFTSlide122．周期性、共軛對(duì)稱性及頻譜中

6、心化周期性和共軛對(duì)稱性來(lái)了許多方便。首先來(lái)看一維的情況。設(shè)有一矩形函數(shù),求出它的傅里葉變換：Slide13在進(jìn)行DFT之前用輸入信號(hào)乘以（-1）x，便可以在一個(gè)周期的變換中求得一個(gè)完整的頻譜。（a）幅度譜（b）原點(diǎn)平移后的幅度譜圖4.6頻譜圖Slide14用(-1)x+y乘以輸入的圖像函數(shù)，則有：原點(diǎn)F(0,0)被設(shè)置在u=M/2和v=N/2上。如果是一幅圖像，在原點(diǎn)的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級(jí)，也稱作頻率譜的直流成分。Slide15圖4.7圖像頻譜的中心化（a）原始圖像(b)中心化前

7、的頻譜圖(c)中心化后的頻譜圖3.6圖像頻譜的中心化Slide163．離散卷積定理設(shè)f(x,y)和g(x,y)是大小分別為A×B和C×D的兩個(gè)數(shù)組，則它們的離散卷積定義為卷積定理Slide17【例4.2】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換。為了增強(qiáng)顯示效果，用對(duì)數(shù)對(duì)頻譜的幅度進(jìn)行壓縮，然后將頻譜幅度的對(duì)數(shù)值用在0～10之間的值進(jìn)行顯示。【解】MATLAB程序如下：I=imread('pout.tif');%讀入圖像imshow(I);%顯示圖像F1=fft2(I);%計(jì)算二維傅里葉變換figure,i

8、mshow(log(abs(F1)+1),[010]);%顯示對(duì)數(shù)變換后的頻譜圖F2=fftshift(F1);%將直流分量移到頻譜圖的中心figure,imshow(log(abs(F2)+1),[010]);%顯示對(duì)數(shù)變換后中心化的頻譜圖Slide18（a）原始圖像（b）圖像的頻譜圖（c）中心化的頻譜圖圖3.7傅里葉變換Slide194.2二維離散余弦變換（DCT）任何實(shí)對(duì)稱函數(shù)的傅里葉變換中只含余弦項(xiàng)，余弦變換是傅里葉變換的特例，余弦變換是簡(jiǎn)化DFT的重要方法。4.2.1一維離散余弦變換將一個(gè)信

9、號(hào)通過(guò)對(duì)折延拓成實(shí)偶函數(shù)，然后進(jìn)行傅里葉變換，我們就可用2N點(diǎn)的DFT來(lái)產(chǎn)生N點(diǎn)的DCT。1．以x=-1/2為對(duì)稱軸折疊原來(lái)的實(shí)序列f(n)得：Slide20-N-10N-1NN+1f(n)延拓示意圖2．以2N為周期將其周期延拓，其中f（0）＝f（－1），f（N－1）＝f（－N）fc(2N–n–1)=fc(n)Slide213．對(duì)0到2N－1的2N個(gè)點(diǎn)的離散周期序列作DFT，得＝＋＝令i＝2N－m－1，則上式為＝＋＝Slide22保證變換基的規(guī)范正交性，引入常量，定義：F(k)＝C(k)C(k)=其中

10、DCT逆變換為Slide234.2.2二維離散余弦變換正變換：逆變換：Slide244.2.3二維DCT的應(yīng)用典型應(yīng)用是對(duì)靜止圖像和運(yùn)動(dòng)圖像進(jìn)行性能優(yōu)良的有損數(shù)據(jù)壓縮。在靜止圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)JPEG、運(yùn)動(dòng)圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)MJPEG和MPEG等標(biāo)準(zhǔn)中都使用了8×8塊的離散余弦變換，并將結(jié)果進(jìn)行量化之后進(jìn)行熵編碼。DCT具有很強(qiáng)的能量集中在頻譜的低頻部分的特性，而且當(dāng)信號(hào)具有接近馬爾可夫過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，DCT的去相關(guān)性接近于具有最優(yōu)去相關(guān)性的K-L變換的性能。Sl