淺談一般化、特殊化

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1、東處師范丈摩迤程鳥(niǎo)縫錢教育拷浣網(wǎng)絡(luò)教育本科畢業(yè)論文題目淺談一般化,特殊化學(xué)生姓名熊輝專業(yè)數(shù)學(xué)教育年級(jí)0402級(jí)學(xué)習(xí)中心陜西漢中教育學(xué)院奧鵬學(xué)習(xí)中心[8]學(xué)號(hào)04025042704045指導(dǎo)教師沈廣艷通訊地址陜西省南鄭縣黃官中學(xué)2006年12月10日淺談一般化，特殊化陜西省南鄭縣黃官中學(xué)熊輝［摘要］:特殊化和一般化是數(shù)學(xué)思維中的兩中基本形式，它們?cè)跀?shù)學(xué)領(lǐng)域里發(fā)揮著重要的作用，同時(shí)它們也是我們常用的數(shù)學(xué)解題思想，理解掌握它們是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)的前提條件。［關(guān)鍵詞］:一般化特殊化抽象認(rèn)識(shí)作用反思啟示1對(duì)一般化、特殊化的基本認(rèn)識(shí)1.1一般化和特殊化構(gòu)成了數(shù)

2、學(xué)抽象思維的兩種基木形式“從特殊到一般，再由一般到特殊”，這是認(rèn)識(shí)的一個(gè)基本規(guī)律，這一規(guī)律在數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)活動(dòng)屮也有著十分重要的應(yīng)用.具體地說(shuō)，一般化和特殊化即就構(gòu)成了數(shù)學(xué)抽象思維的兩種基本形式.文［1］1.1.1"i般化”(generalization)也可稱為“弱抽象”，扌旨由原型中選取某一特征或側(cè)面加以抽象，從而形成比原型更為普遍、更為一般的概念或理論，并使前者成為后者的特例.由現(xiàn)實(shí)原型出發(fā)去建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型顯然就是一個(gè)弱抽彖的過(guò)程；另外，除真實(shí)的事物和現(xiàn)彖以外，我們也可以已經(jīng)得到建立的數(shù)學(xué)概念或理論為原型去進(jìn)行抽象，例如，由“全等形”的概念出發(fā)，通

3、過(guò)分離出“形狀和似”和“面積相等”的特性，我們就可以分別獲得“相似形”和“等積形”的概念，從而，相對(duì)于后者而言，全等形的概念就可說(shuō)是一個(gè)原型，而由全等形的概念出發(fā)去建立相似形和等積形的概念則就是一個(gè)弱抽象的過(guò)程.弱抽彖在數(shù)學(xué)屮有著十分廣泛的應(yīng)用.例如，數(shù)學(xué)屮有很多概念是密切相關(guān)、互相聯(lián)系的，而如果從生成的角度去進(jìn)行分析，它們就可看成一個(gè)“弱抽彖概念鏈”，即由某一概念出發(fā)經(jīng)多次弱抽象逐步生成的.例如，如果用符號(hào)“一㈢一”表示弱抽象的關(guān)系，那么，函數(shù)概念的歷史演變事實(shí)上可以看成一系列弱抽象的過(guò)程，即有(圖1)：對(duì)弱抽象在數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用，可歸結(jié)為：第一，只有

4、結(jié)構(gòu)內(nèi)容較為豐富的對(duì)象才能作為弱抽象的原型；第二，實(shí)現(xiàn)弱抽象的關(guān)鍵在于如何對(duì)原型的性質(zhì)作出具體分析，并從中分離出某個(gè)或某些特性；第三，為了最終完成所說(shuō)的弱抽象，我們必須用明確的規(guī)范化語(yǔ)言去表達(dá)分離出來(lái)的特性，并以此為定義構(gòu)建出新的、更為一般的對(duì)彖.1.1.2“特殊化"（specialization）也叫做“強(qiáng)抽象”，是指通過(guò)引入新特征強(qiáng)化原型來(lái)完成抽象，因此，所獲得的新概念或理論就是原型的特例.例如，由一般三角形的概念出發(fā)，通過(guò)引入“邊相等”與“一個(gè)角為直角”的條件，我們就分別獲得了“等腰三角形”和“直角三角形”的概念，它們顯然都可看成前者的特例.與弱抽

5、象的悄況相類似，在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展中我們也可找到不少?gòu)?qiáng)抽象的例子.一般地說(shuō)，這往往是與概念的澄清（分化）直接相聯(lián)系的.就最終的表現(xiàn)形式而言，強(qiáng)抽象即可看成概念的適當(dāng)組合.強(qiáng)抽象的最終表現(xiàn)形式也是較為簡(jiǎn)單的.但是，就實(shí)際的數(shù)學(xué)研究過(guò)程而言，這乂往往并非是現(xiàn)成概念的簡(jiǎn)單組合，而必須通過(guò)新的特征的“發(fā)現(xiàn)”或”引入，才能由原型中分化出更為特殊的概念或理論.具體的說(shuō)，為了實(shí)現(xiàn)強(qiáng)抽象，數(shù)學(xué)家們往往必須首先在原形屮引入某種新的關(guān)系，如某種映射，對(duì)應(yīng)關(guān)系或運(yùn)算等，然后，如果這種新的關(guān)系造成了原有概念的分化，我們就可以所得出的子類的共同特性去定義新的、更為特殊的對(duì)象?例如：

6、通過(guò)曲線（點(diǎn)）與方程（數(shù)組）Z間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們就可依據(jù)方程的類別（一次方程、二次方程）去對(duì)相應(yīng)曲線作出分類，而一次曲線、二次曲線等相對(duì)于一般的曲線而言顯然是更為特殊的.1.1.3弱抽象和強(qiáng)抽象的關(guān)系文[2]第一，強(qiáng)抽象和弱抽象是方向相反的兩種思維方法.從思維活動(dòng)的方向看，弱抽象是“特殊到一般”的過(guò)程，強(qiáng)抽象則是“一般到特殊”的過(guò)程.曲于強(qiáng)抽彖是“一般到特殊”的過(guò)程，因而其實(shí)際是演繹推理的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程比較直接，但不易理解.用這種方法建構(gòu)新的數(shù)學(xué)概念，對(duì)思維水平要求較高…些.弱抽象是“特殊到一般”的過(guò)程，因而具實(shí)際是歸納推理的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程比較直觀，是

7、通過(guò)直接經(jīng)驗(yàn)來(lái)建構(gòu)新的數(shù)學(xué)概念，更貼近學(xué)生的思維水平，更容易理解。例如，中學(xué)關(guān)于四邊形的概念是一個(gè)強(qiáng)抽彖鏈：四邊形一⑴一梯形一⑴一平行四邊形一⑴一矩形（菱形）一⑴一正方形.但幼兒對(duì)四邊形概念的認(rèn)識(shí)是完全相反的過(guò)程，是弱抽象的過(guò)程，在教育心理學(xué)上稱為“概念形成”的過(guò)程。雖然弱抽象和強(qiáng)抽象的思維方向相反，但并不是互逆的，即弱抽象的產(chǎn)物未必能經(jīng)過(guò)強(qiáng)抽象還原，反之依然.例如：對(duì)應(yīng)一一〉一映射一⑷一函數(shù)第二，弱抽象與強(qiáng)抽彖和互依賴和補(bǔ)充.強(qiáng)抽彖依賴于弱抽彖，而弱抽彖又需要強(qiáng)抽彖的補(bǔ)充，不能片面地強(qiáng)調(diào)其中的某一個(gè).在中小學(xué)數(shù)學(xué)教材里，一些有關(guān)的概念常常是以“強(qiáng)抽象鏈

8、”的形式表述出來(lái)，例如：自然數(shù)一⑷f(wàn)正有理數(shù)一"）f有理數(shù)一⑷f(wàn)實(shí)數(shù)一⑴f復(fù)數(shù)但