有關(guān)Frenet公式的探討【文獻綜述】

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1、畢業(yè)設(shè)計文獻綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)有關(guān)Frenet公式的探討曲線與曲面是微分幾何中最基本的討論對象,平面曲線在一點的曲率與空間的曲線在一點的曲率等是微分幾何中重要的討論內(nèi)容,也是微分幾何曲線理論形成的主要出發(fā)點.在微分幾何領(lǐng)域,曲線與曲面作為主要研究對象,有著極其廣泛的應(yīng)用.微分幾何學(xué)以光滑曲線及曲面作為研究對象,所以整個微分幾何學(xué)由曲線的弧線長,曲線上一點的切線等概念展開.由于微分幾何研究一般曲線與一般曲面的有關(guān)性質(zhì),因此空間曲線,平面曲線在一點的曲率與空間的曲線在一點的曲率等是微分幾何中重要的討論內(nèi)容,這也是微分幾何

2、曲線理論形成的主要出發(fā)點.在三維歐氏空間中,曲線與曲面的幾何理論以及曲面的內(nèi)蘊幾何歷史悠久,內(nèi)容豐富,對它的研究始于微積分在幾何的應(yīng)用.在微積分發(fā)明的同時,人們就開始了平面曲線微分幾何的研究,而第一個作出重要貢獻的是Euler（1707~1783）.他在1736年引進了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo),也就是曲線弧長這一概念,從而開始了內(nèi)在幾何的研究.此外,Euler將曲率描述為某一特殊角的變化率.同時,他在曲面論方面也有重要貢獻,特別值得一提的是他在測地線方面的一些研究,最早把測地線描述為某些微分方程組的解.其后,在物理問題的推

3、動下,1736年Euler證明了:在無外力作用的情況下,一個質(zhì)點如約束在一曲面上運動,它必定是沿測地線運動.到17世紀(jì)末,關(guān)于平面曲線的研究已得到許多結(jié)果.Monge對微分幾何的早期發(fā)展做出了重要的貢獻.此外,Gauss關(guān)于曲面的理論建立了基于曲面第一基本形式的幾何,并把歐氏幾何推廣到曲面上彎曲的“幾何”,使得微分幾何真正成為一個獨立的學(xué)科.18世紀(jì),空間曲線與曲面的理論得到了主要發(fā)展.F.Frenet與JosephSerret分別在1847,1851年各自獨立導(dǎo)出了Frenet-Serret方程,使得空間曲線論得到

4、最終統(tǒng)一,也就是我們今天熟知的Frenet公式.1854年,Riemann在著名的演講上把Gauss的理論推廣到高維的空間,Riemann幾何就此誕生;Riemann的思想引起了許多工作者來處理與發(fā)展他的新幾何,經(jīng)過Christofell,Beltrami以及隨后的Bianchi,Ricci與LeviCivita等人的努力,歐氏空間中的曲線與曲面的幾何理論在19世紀(jì)末己蓬勃發(fā)展起來.經(jīng)典初等的微分幾何主要討論三維歐氏空間中曲線與曲面的局部性質(zhì),它的研究方法一般有三種,一種是以向量分析為工具,一種是采用Cartan的活

5、動標(biāo)架法,另一種是以張量分析為工具.在研究空間中的曲線與曲面的局部性質(zhì)時,經(jīng)常以向量分析為工具,致使許多問題的證明過程變得相當(dāng)繁瑣,而與李群相結(jié)合,使得問題的解決變得簡單明了.1872年,F.Klein發(fā)表了著名的演講“最新幾何研究的比較評論”,他的基本思想是把幾何看作某個變換群作用下的不變量.根據(jù)F.Klein的思想,有一個變換群就有一個幾何與之對應(yīng),歐幾里得幾何就是研究幾何圖形在歐幾里得變換群下不變的性質(zhì)與量.ElieCartan融合前面的觀點,以聯(lián)絡(luò)為主要幾何觀念,創(chuàng)立了外微分法,使幾何不變量得以更充分的顯示,

6、陳省身等將外微分與活動標(biāo)架法相結(jié)合,將ElieCartan的方法發(fā)揚光大,建立了微分幾何與拓撲的聯(lián)系.使得整體微分幾何有了突飛猛進的發(fā)展.經(jīng)典微分幾何的理論和方法作為一個基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具,在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.60年代初,Ferguson首先在飛機設(shè)計上應(yīng)用了參數(shù)三次曲線,引入了參數(shù)方法表示的自由曲線曲面,Bezier在1962年設(shè)計了以逼近為基礎(chǔ)的曲線曲面造型系統(tǒng)UNISURF,其核心思想是用控制網(wǎng)格定義曲線曲面的Bezier方法.隨后,Forrest,Gordon和Riesenfeld等對Bezie

7、r方法做了深入研究,揭示了Bezier方法與Bernstein多項式之間的聯(lián)系,從而使其具有更堅實的理論基礎(chǔ).1983年,Farin更進一步研究了能統(tǒng)一表示圓錐曲線與自由曲線的有理Bezier曲線.70年代初,Gordon和Riesenfeld等人研究了非均勻B樣條,并首次將B樣條應(yīng)用到外型設(shè)計.在80年代初期,Lane和Cohen提出了離散B樣條和分割技術(shù).1982年,Boehm提出了B樣條曲線的節(jié)點插入算法;Tiller論述了有理B樣條曲線曲面的具體應(yīng)用.至今,國內(nèi)外許多學(xué)者已對Frenet公式進行了深入研究.F

8、renet公式是微分幾何空間曲線論的基本公式,由它可以導(dǎo)出曲線的諸多重要性質(zhì)與定理,是研究空間曲線論的基礎(chǔ),在經(jīng)典微分幾何中占有十分重要的地位.論文討論了歐氏空間中的曲線與曲面及Frenet公式在曲線論中的應(yīng)用,并鑒于經(jīng)典的Frenet公式基于弧長參數(shù),無法直接應(yīng)用于非弧長參數(shù)的應(yīng)用工程,以致于一些應(yīng)用理論不得不舍棄經(jīng)典Frenet公式而采用形