專題26奇偶分析

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1、專題26奇偶分析閱讀與思考整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)，一個整數(shù)要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)，因此奇偶性是一個整數(shù)的固有屬性，即奇數(shù)H偶數(shù).由于奇偶性是整數(shù)的固有屬性，因此可以說奇偶性是整數(shù)的一種不變性，通過分析整數(shù)的奇偶性來解決問題的方法叫奇偶分析.運用奇偶分析解題，常常要用到奇數(shù)和偶數(shù)的基本性質(zhì)：1.奇數(shù)H偶數(shù).2?奇數(shù)土奇數(shù)二偶數(shù)，奇數(shù)土偶數(shù)二奇數(shù)，偶數(shù)土偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)，偶數(shù)個奇數(shù)的和為偶數(shù)，若干個徜數(shù)的和是徜數(shù).3?若干個奇數(shù)之積是奇數(shù)，偶數(shù)與任意整數(shù)Z積是偶數(shù).4?若d是整數(shù)，則Q與同，-d,“（〃為自然數(shù)）有相同的奇偶性.5?設(shè)a,b是整數(shù)，則

2、o+b,a—b,0+b

3、,

4、a—b

5、都有相同的奇他數(shù).6?偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1.例題與求解【例1】數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…的排列規(guī)律是：前兩個數(shù)是1,從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)是它前面兩個數(shù)的和，這個數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列，在斐波那契數(shù)列的前2004個數(shù)屮共有—個偶數(shù).（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：本例關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的各項奇偶性的規(guī)律.【例2】如果a,b,c都是正整數(shù)，且a,b是奇數(shù)，則y+（h-）2c是（）.A.只當(dāng)c為奇數(shù)時，其值為奇數(shù)B.只當(dāng)c為偶數(shù)時，其值為奇數(shù)C.只當(dāng)c為3的倍數(shù)時，其值

6、為奇數(shù)D.無論c為任意正整數(shù)時，其值均為奇數(shù)（五城市聯(lián)賽試題）解題思路：直接運用奇數(shù)偶數(shù)的性質(zhì)作出選擇.【例3】能否找到自然數(shù)a和b,使a2=2002+ft2.（“華羅庚金杯”邀請賽試題）解題思路：假設(shè)存在自然數(shù)。和b,使等式成立，則（a+b）（c/-歷=2002,從ci+b,a-b的奇偶性展開推理.【例4】在6張紙片的正面分別寫上整數(shù)1,2,3,4,5,6,打亂次序后，將紙片翻過來，在它們的反面也隨意寫上1?6這6個整數(shù)，然后計算每張紙片正而與反面所寫數(shù)字之差的絕對值，得出6個數(shù)，請你證明：所得的6個數(shù)中至少有兩個是相同的.（北京市競賽試題）解題思路：從反面入

7、手，即設(shè)這6個數(shù)兩兩都不相等，利用ai-b與e-b心=1,2,3,4,5,6的奇偶性相同，引入字母進(jìn)行推理證明.【例5】表甲是一個英文字母電子顯示盤，每一次操作可以使某一行4個字母同時改變，或者使某一列4個字母同時改變，改變的規(guī)則是：按照英文字母表的順序，每個英文字母變成它下一個字母（即A變成B,B變成C…最后字母Z變成A）.問:能否經(jīng)過若干次操作，使表甲變成表乙？如果能，請寫出變化過程，如不能，說明理由.SOBRKBDSTZEPHEXGHOCNRTBSADVXCFYA表甲表乙（“祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：表甲與表乙看上去沒有規(guī)律，似乎不太容易將表甲變

8、為表乙（可以試一試），看是否能成功？如果是不能，就應(yīng)找出不能的理由，解題的關(guān)鍵是如何將問題“數(shù)字化”，挖掘操作變化過程中的不變量或不變性.【例6】設(shè)X],兀2…百為+1或一1,并且州兀2兀3無4+兀2兀3兀4兀5+兀3兀4兀5兀6+…+?！?3￡-2兀“-】?！?Xn_2xn_xxnx{+Xn_xxnxxx2+xnxxx2x3=0.證明〃能被4整除.解題思路：應(yīng)用整數(shù)的奇偶性解題，常需變化角度去考察河題，從而化難為易.能力訓(xùn)練1.若按奇偶分類,則11+22+33+???+20112011^數(shù).2.已知d是質(zhì)數(shù)，b是奇數(shù)，且a1+/?=2001，則q+/?=（江蘇

9、省競賽試題）3.若質(zhì)數(shù)〃2,n滿足5加+7〃=129,則tn4-n的值為4.5.（河北省競賽試題）一個.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）將1,2,3,4,5這五個數(shù)字排成一排，最后一個數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個數(shù)之和在1622,32,…，95?這95個數(shù)中,十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有都能被這三個數(shù)中的第一個數(shù)整除，那么，滿足要求的排法有（）種?A.26.設(shè)Q,（1）（2）（3）（4）B.3C.4b為整數(shù)，給出下列四個結(jié)論若a+5b是偶數(shù)，若a+5b是偶數(shù)，若a+5b是奇數(shù)，若a+5b是奇數(shù)，D.5其屮正確結(jié)論的個數(shù)是A.0B.2則a-3b是偶數(shù)則ci-3b是奇數(shù)則a-

10、3b是偶數(shù)則ci_3b是奇數(shù)（）?C.4D.1或3（“五羊杯”競賽試題）7.如果a,b,c是三個任意整數(shù)，那么凹，土，巳222B.至少有兩個是整數(shù)D.都是正數(shù))?A.都不是整數(shù)C.至少有一個是整數(shù)（“T1杯”全國競賽試題）8.將1000到1997這998個自然數(shù)任意排成一行，然后依次地求出三個相鄰數(shù)的和，在這些和中,奇數(shù)的個數(shù)至多有（）.A.499個B.496個C.996個D.995個9.設(shè)a】，a2，…a1999是1，2,3,1999的一個排列,求證：@］一1)+@2-2)+…+0999-1999)為偶數(shù).10.在黑板上記上數(shù)1,2,3,…，1974,允許擦去

11、任意兩個數(shù)，且寫上它們的