變異數(shù)分析(精品)

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1、變異數(shù)分析1基本槪念?硏究之問題（ANOVA之用途）變異數(shù)分析（AnalysisOfVariation,ANOVA）:檢定三個或三個以上的母體平均數(shù)是否相等的方法，或檢定因子（Factor）對依變數(shù)是否有影響。變異數(shù)分析是一種統(tǒng)計分析的方法，係將一組資料的變異，依可能發(fā)生的變異來源，分割爲(wèi)數(shù)個部份，亦即每一部份均可歸因於某原因（變異來源）；測度這些不同的變異來源，可瞭解各種變異是否有顯著差異；若有差異'則表示某依變異來源對資料具有顯著的影響作用。若有K個母體資料時，欲比較此K個母體的母體平均數(shù)（血，I二是否相等JI.E.Hq:“=???=“￡）。二、ANOVA之前題

2、假設(shè)1?常態(tài)性假設(shè)（Normality）-假設(shè)K個母體分布均爲(wèi)常態(tài)分布2?同質(zhì)性假設(shè)（Homogeneity）：假設(shè)K個常態(tài)母體分布之變異數(shù)均相等3?獨立性假設(shè)（Independence）：假設(shè)K個常態(tài)母體分布互相均獨立這些假設(shè)理論上都可利用原始數(shù)據(jù)一一加以檢定。如果三個母體的平均數(shù)相等，則我們將預(yù)測三個樣本平均數(shù)會非常接近。事實上，此三樣本平均數(shù)愈靠近，愈能支持母體平均數(shù)爲(wèi)相等的結(jié)論。換句話說，樣本平均數(shù)間的差異愈人，則愈能支持母體平均數(shù)爲(wèi)不相等的結(jié)論。所以，如果樣本平均數(shù)問的變異性「低」，則支持；如果樣本平均數(shù)問的變異性「高」，則支持7。若虛無假設(shè)仏：“嚴仏二“

3、3爲(wèi)真,我們可利用樣本平均數(shù)間的變異性建立/的估計値。而且果滿足變異數(shù)分析的前提假定的話，各樣本將來自平均數(shù)爲(wèi)卩且變異數(shù)爲(wèi)/的同一常態(tài)分配。我們曾提到對抽自常態(tài)母體且樣本大小爲(wèi)N之簡單隨機樣本而言，其樣本平均數(shù)文的抽樣分配爲(wèi)平均數(shù)爲(wèi)卩且變異數(shù)爲(wèi)/的常態(tài)分配。/的樣本間估計値係根據(jù)虛無假設(shè)爲(wèi)真的假設(shè)。在這種情況下，各樣本來自同一母體，而且僅有一個乂的抽樣分配。爲(wèi)說明耳）爲(wèi)僞的情況，假設(shè)母體平均都不相等。由於三組樣本抽自平均數(shù)不等的常態(tài)母體,將有不同的抽樣分配。一般而言'當(dāng)母體平均數(shù)不等時'樣本間估計値將高估母體變異數(shù)y。各樣本內(nèi)的變異性也會影響變異數(shù)分析的結(jié)論。當(dāng)由各

4、母體抽取一簡單隨機樣本時，各樣本變異數(shù)均爲(wèi)/的一不偏估計値'所以我們可以將個別的/估計値合倂爲(wèi)一個總估計値，此估計値稱爲(wèi)/的合倂估計値或樣本內(nèi)(Within-Samples)估計値。因爲(wèi)各樣本變異數(shù)係以該樣本內(nèi)的變異爲(wèi)準(zhǔn)，所以/的樣本內(nèi)估計値將不受母體平均數(shù)是否相等所影響。當(dāng)樣本大小相等時，/的樣本內(nèi)估計値即爲(wèi)個別樣本變異數(shù)的平均。無論如何，若虛無假設(shè)爲(wèi)真，則樣本間估計値爲(wèi)/的良好估計値；而若虛無假設(shè)爲(wèi)僞時'樣本間估計値將高估/。在任一情況下，樣本內(nèi)估計値均爲(wèi)，的良好估計値。因此，如果虛無假設(shè)爲(wèi)真，這兩個估計値應(yīng)非常類似，且其比率將接近1。如果虛無假設(shè)爲(wèi)僞，則樣本間

5、估計値將人於樣本內(nèi)估計値，其比率將會很大?？傊?，ANOVA的論理是以建立共同母體變異數(shù)/的二獨立估計値爲(wèi)依據(jù)。其中一個估計値是以樣本平均數(shù)間的變異爲(wèi)準(zhǔn)，而另一個估計値則以各樣本內(nèi)的資料變異爲(wèi)準(zhǔn)。藉著此二*估計値的比較，我們將能判定樣本平均數(shù)是否相等。由於其方法利用到變異數(shù)的比較，所以稱爲(wèi)變異數(shù)分析。三、資料型態(tài)及符號母體分布原始資料(X“)個數(shù)(%)各組資料總和(XJ1??X%2??N(“q2)?X2「X22，-??????必2“n2■■??Knk合計NX.四、統(tǒng)計假設(shè)]//()：“]=冬=…=兒[比:…，“上(不完全相等)當(dāng)接受時表示K個母體可以合倂爲(wèi)一母體；若拒

6、絕時則表示各母體之間平均數(shù)是有差異，至於何者較大或較小，並無法在此假設(shè)中判定，必須做進一步分析。五、統(tǒng)計模式X"?二“+勺傳統(tǒng)上我們會用下面的寫法，令_心血+心“2+???+?/“一■nXij=+?j=“+（H-“）+Sj=“+匕+勺而Ho:“]=“2=就變成：勺=^2二…二匕=0其屮，“爲(wèi)整體之母體的「總」平均數(shù)(注意到用觀測値?加權(quán))從爲(wèi)第i組母體之平均數(shù)勺爲(wèi)第i組之處理效應(yīng)｛treatmenteffect)i?i?d?豈爲(wèi)第，組第i個樣本之誤差(error)?N(0,cP)這裡的?，冬等都被視爲(wèi)未知參數(shù)(非隨機量)，而勺是隨機量。/也是未知參數(shù)。在傳統(tǒng)的ANO

7、VA分析中有一個相當(dāng)重要的假設(shè)就是：所有的％都有同樣的/°六、統(tǒng)計推論(固定效應(yīng)模式(FixedEffectModel))點估計：首先將冬視爲(wèi)一固定未知參數(shù)。利用最小平方法(LeastSquareMethod)令：Q(“，e)二j=1；=1使Q極小，用偏微分，首先做=“―e）（—1）=0Cpl/=17=1由此得kx..-兀“-工昭?=0（i）1=1其次做器■二￡2（X"一“-匕）（一1）=0叫戶1由此得X卜-ni/Li-niai=0（2）但kDe=°（3）/=1將（3）代入（1）>得X..=np故P=（4）再由（2）及（4），可解出CXj=X卜—pi=X卜—X因