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《場(chǎng)論典型例題》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、場(chǎng)論典型例題第一章矢量分析例題1、（基本矢量計(jì)算）已知兩個(gè)矢量，，求（1）（2）（3）（4）（5）若和兩矢量夾角為，求。解：（1）===（2）===（3）====10（4）===（5）根據(jù)內(nèi)積的定義有：=，其中，為矢量的模。所以：其中在（2）中已經(jīng)得到=10，而=，=因此==說(shuō)明：此題可以用于掌握矢量運(yùn)算法則。例題2、（矢性函數(shù)的極限）設(shè)，式中，為矢量，分別為，。求下列極限。（1）（2）解：（1）整理。=而==所以=+（2）=
2、
3、==說(shuō)明：對(duì)矢性函數(shù)的極限，歸結(jié)為對(duì)各坐標(biāo)分量求極限，因此，需要溫習(xí)高等數(shù)學(xué)
4、中微積分中關(guān)于“函數(shù)極限”的內(nèi)容，特別是一些常用極限的求法。例題3、（求矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）設(shè)矢性函數(shù)為，，其中和都是常數(shù)，求、。解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式有=．為數(shù)性函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)微積分中的知識(shí)，求得：=另外，因?yàn)槭感院瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)歸結(jié)為三個(gè)數(shù)性函數(shù)的求導(dǎo)，所以=因此，=．=====1說(shuō)明：對(duì)矢性函數(shù)的求導(dǎo)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)換成對(duì)各坐標(biāo)分量求導(dǎo)，因此，需要溫習(xí)高等數(shù)學(xué)中微積分中關(guān)于“函數(shù)導(dǎo)數(shù)”的內(nèi)容，一些常用簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)熟記。求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法是常用的求解工具，要熟練運(yùn)用。例題4（求矢性函數(shù)的微分）設(shè)，求，。解
5、：=====說(shuō)明：矢性函數(shù)的微分和求導(dǎo)的方法類似，轉(zhuǎn)換成對(duì)各坐標(biāo)分量求微分，但是微分和求導(dǎo)的幾何意義不同，詳細(xì)區(qū)別參見(jiàn)教材《矢量分析與場(chǎng)論》7、8頁(yè)。例題5（求矢性函數(shù)的積分）設(shè)，求解：====說(shuō)明：本題是求得矢性函數(shù)的定積分，對(duì)矢性函數(shù)的定積分的問(wèn)題，轉(zhuǎn)換成對(duì)各坐標(biāo)分量求定積分，需要復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)中微積分中關(guān)于“函數(shù)積分”的內(nèi)容，一些簡(jiǎn)單函數(shù)的積分應(yīng)熟記。常用的積分方法有：“湊”微分法、換元積分、分部積分法等。在求矢性函數(shù)的不定積分時(shí)，一定不要忘記結(jié)果中要加上一個(gè)任意常矢量。第二章場(chǎng)論典型例題分析例題1、
6、（求數(shù)量場(chǎng)方向?qū)?shù)）求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。解：=，=，=在處有=，=，=另外，在處=則的方向余弦分別為：=，=，=所以，方向?qū)?shù)=++==例題2、（求數(shù)量場(chǎng)方向?qū)?shù)）求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿曲線朝增大方向的方向?qū)?shù)。解：將所給的曲線方程改寫成矢量形式。==其導(dǎo)矢=就是曲線沿大一方的方向的切向矢量。當(dāng)時(shí)，正好過(guò)點(diǎn)，將代入得，==其方向余弦為=，==又函數(shù)在的偏導(dǎo)數(shù)==，==，==于是，根據(jù)方向?qū)?shù)的定義，所求的方向?qū)?shù)為=++=++=說(shuō)明：注意和例題1的區(qū)別，兩題所給的關(guān)于方向的條件不同，例題1直接給出了
7、方向，例題2通過(guò)給定一曲線間接確定了方向，曲線上點(diǎn)處的切線才是所需要的方向。例題3、（求數(shù)量場(chǎng)梯度）數(shù)量場(chǎng)在處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大？解：求函數(shù)在的偏導(dǎo)數(shù)==，==，==梯度=根據(jù)梯度的定義和幾何意義，沿梯度方向變化最快，所以，所求方向?yàn)?。說(shuō)明：本題是考查點(diǎn)是“方向?qū)?shù)和梯度的關(guān)系”。例題4、求散度。設(shè)，求。解：=++==0例題5、（求通量）設(shè)矢量場(chǎng)=。為球面，求矢量場(chǎng)從內(nèi)穿出的通量。解：先求出的散度。==根據(jù)通量和散度的關(guān)系有：==。為求上面的三重積分，特別設(shè)?？疾?。過(guò)點(diǎn)作平面XY平行的平面，與球體截
8、的區(qū)域記為，則就是平面上的圓。于是==因?yàn)?為圓的面積，所以===類似地，可得==所以====說(shuō)明：利用散度來(lái)求通量，問(wèn)題變成一個(gè)三重積分的問(wèn)題，請(qǐng)復(fù)習(xí)微積分中“多變量積分學(xué)”。例題6、（求旋度）已知=，求。解：==++==說(shuō)明：本題的中行列式，并不是線形代數(shù)中行列式，而只是一種表示形式而已，但它的運(yùn)算關(guān)系類似線形代數(shù)中行列式，請(qǐng)復(fù)習(xí)關(guān)于線形代數(shù)中行列式的相關(guān)內(nèi)容。例題7、（求環(huán)量）已知矢量場(chǎng)，計(jì)算環(huán)量，其中是由，，，所構(gòu)成的矩形回路。解：==+++=說(shuō)明：這里用到微積分中的曲線積分。例題8、（有勢(shì)場(chǎng)）設(shè)
9、矢量場(chǎng)，問(wèn)是有勢(shì)場(chǎng)嗎？若是，求出任意勢(shì)函數(shù)。解：因?yàn)?，所以是有?shì)場(chǎng)。有勢(shì)場(chǎng)一定存在勢(shì)函數(shù)，不妨設(shè)其中一個(gè)勢(shì)函數(shù)為。令。則可以通過(guò)下面的公式求得：（參見(jiàn)教材63頁(yè)）。這里，，特別取為原點(diǎn)。因此得：則因?yàn)槿我鈩?shì)函數(shù)都和相差一個(gè)常數(shù)，所以任意勢(shì)函數(shù)為，為常數(shù)。
