數(shù)值計(jì)算方法(第4章)3

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1、4.4三次樣條插值前面我們根據(jù)區(qū)間[a,b]上給出的節(jié)點(diǎn)做插值多項(xiàng)式Ln(x)近似表示f(x)。一般總以為L(zhǎng)n(x)的次數(shù)越高，逼近f(x)的精度越好，但實(shí)際并非如此，次數(shù)越高，計(jì)算量越大，也不一定收斂。因此高次插值一般要慎用，實(shí)際上較多采用分段低次插值。4.4.1分段插值分段線性插值分段線性插值分段線性插值缺點(diǎn)：I(x)連續(xù)，但不光滑，精度較低,僅在分段三次Hermite插值上述分段線性插值曲線是折線，光滑性差，如果交通工具用這樣的外形，則勢(shì)必加大摩擦系數(shù)，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。分段

2、三次Hermite插值分段三次Hermite插值算法例題例題4.4.2三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值例題例4.4.1已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)表如下表所示。求滿足邊界條件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529解做差商表(P111),由于是等距離節(jié)點(diǎn),由第二類(lèi)邊界條件得解方程得將Mi代入式4.4.14)得由于故4．5曲線擬和的最小二乘法

3、插值法是用多項(xiàng)式近似的表示函數(shù),并要求在他們的某些點(diǎn)處的值相擬合.同樣也可以用級(jí)數(shù)的部分和作為函數(shù)的近似表達(dá)式.無(wú)論用那種近似表達(dá)式,在實(shí)際應(yīng)用中都要考慮精度,所以我們給出最佳逼近的討論.4.5.1最佳平方逼近定義4.5.1設(shè)稱(chēng)為函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的內(nèi)積.其中為區(qū)間[a,b]上的權(quán)函數(shù),且滿足下面兩個(gè)條件:容易驗(yàn)證,上述定義的函數(shù)內(nèi)積滿足一般內(nèi)積概念中四條基本性質(zhì).內(nèi)積的性質(zhì)函數(shù)的歐幾里得范數(shù)定義4.5.2設(shè)稱(chēng)為函數(shù)f(x)的歐幾里得范數(shù),或2范數(shù).函數(shù)的歐幾里得范數(shù)性質(zhì)線性相關(guān)的函數(shù)系定義4.5.3設(shè)

4、函數(shù),如果存在一組不全為零的數(shù)使成立,則稱(chēng)函數(shù)系是線性相關(guān)的,否則稱(chēng)是線性無(wú)關(guān)的.線性相關(guān)的函數(shù)系的判定定理4.5.1函數(shù)在區(qū)間[a,b]上線性相關(guān)的充分必要條件是Gramer行列式不難證明在R上線性無(wú)關(guān).定理4.5.1的等價(jià)說(shuō)法是:函數(shù)系線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是Gramer行列式.最佳平方逼近定義4.5.4設(shè)函數(shù)及函數(shù)系且線性無(wú)關(guān).記為連續(xù)函數(shù)空C[a,b]的子空間,如果存在元素滿足則稱(chēng)為f(x)在上的最佳平方逼近函數(shù).且其中是法方程唯一的一組解.令則誤差為特例取則法方程為其中例題例4.5.1設(shè)求f(x)

5、在區(qū)間[0,1]上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式.解設(shè)由于故法方程為解得平方誤差為4.5.2對(duì)離散數(shù)據(jù)的曲線擬合最小二乘法曲線擬合問(wèn)題對(duì)于f(x)插值問(wèn)題,要想提高精度,就要增加節(jié)點(diǎn),因此多項(xiàng)式的次數(shù)也就太高,計(jì)算量過(guò)大,而節(jié)點(diǎn)少,多項(xiàng)式的次數(shù)低,但誤差精度不能保證,為了消除誤差干擾,取多一些節(jié)點(diǎn)利用最小二乘法確定低次多項(xiàng)式近似表示f(x),這就是曲線擬合問(wèn)題.在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,得到函數(shù)y=f(x)的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):,求曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差在某種度量意義下最小.設(shè)是[a,b]上一組線性無(wú)關(guān)的連續(xù)函數(shù)系,令記誤差.為尋求我

6、們常以誤差加權(quán)平方和最小為度量標(biāo)準(zhǔn),即達(dá)到極小值,這里是[a,b]上的權(quán)函數(shù).類(lèi)似前述最佳平方逼近方法,有多元函數(shù)極值必要條件有用向量?jī)?nèi)積形式表示,上式可記上式為求的法方程組,其矩陣的形式為其中由于向量組是線性無(wú)關(guān),故式(4.5.14)的系數(shù)行列式故式(4.5.14)存在唯一解,于是得到函數(shù)f(x)的最小二乘解其平方誤差為特例例題例4.5.2設(shè)函數(shù)y=f(x)的離散數(shù)據(jù)如下表所示試用二次多項(xiàng)式擬和上述數(shù)據(jù),并求平方誤差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.22

7、62.718解由式(4.5.16)可得解方程組得所以擬合二次函數(shù)為平方誤差為例4.5.3地球溫室效應(yīng)問(wèn)題下表統(tǒng)計(jì)了近100年內(nèi)地球大氣氣溫上升的數(shù)據(jù).試根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立一數(shù)學(xué)模型即擬和曲線,并根據(jù)這一模型,預(yù)報(bào)地球氣溫何年會(huì)比1860年的平均溫度高年份N1860年后地球氣溫增加值年份N1860年后地球氣溫增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08解為簡(jiǎn)化數(shù)據(jù),從1880

8、年起年份記N,其變換n=(N-1870)/10.將地球氣溫增加值改記為t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是將原氣溫增加值擴(kuò)大100倍,根據(jù)新數(shù)據(jù)繪制圖4.5.1(P119)從圖4.5.1可以看出,氣溫t與變換n大致服從指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)過(guò)程,因此,可以假設(shè)t與n滿足指數(shù)函數(shù)關(guān)系為決定參數(shù)α,β將上式改寫(xiě)成記則有這是已知數(shù)據(jù)相應(yīng)地變?yōu)槿缦卤硭緉1234567891011ln1ln2ln3ln