專題11等差數(shù)列和等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)

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1、母題門等差、等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)母題呈現(xiàn)【母題來源一】【2016高考浙江理數(shù)】【母題原題】設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為&?若S2=4,an+i=2Sn+1,nwN'則【答案】1121再由<2*=2工令1耳=25^,+1(?:>2)^>-a^2a^=>=3fljn>2),又~=3q,所以S廠3勺5>l),s5-i—?12L1—J考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的定義；2、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；3、遞推公式?【名師點(diǎn)睛】本題可以依次算5項(xiàng)值，誡&的值，但是在解答題中我斜中n的3an的值較昵，必須轉(zhuǎn)化為可求通項(xiàng)公式的遞推式,本題中由a=2S+1轉(zhuǎn)化為a^i=nn過程中，一定要臉宙1時是否滿3a,否則很容易

2、現(xiàn)族n【母題來源二】【2016高考新權(quán)理數(shù)】【母題原題】已知數(shù)列｛an｝錯誤！未找到引庸源手a“錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。其中0.（I）證陽｝錯選！未找到引用源。是等比數(shù)列，并求巧通項(xiàng)公式;31(II)若5S錯誤1■朱找至河I用源?！敬鸢浮?I)32+/.豐【解析】(I).豐由題意得Qia/?故1/-1,a，SnVnan1得a19n/v得an0「所以因此｛a｝是首項(xiàng)為n的等比數(shù)列,1于是an（II）由（I）得31得31,即)5321321解得「【考點(diǎn)】1、數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和為Sn關(guān)系；2、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)及前n項(xiàng)和為S?a【方法總結(jié)】仁等比數(shù)列的證明通常有

3、兩種方法：（1）定義法，即證明n匚=q（常數(shù)）；an（2）中項(xiàng)法，即證明2_a+=aa+?根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)常常要將遞推關(guān)系變形,n1nn2轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列來求解；2、要注意方程思想在本題中的應(yīng)用，直接利用已知遞推式求Ss并列方程求值是本題簡化運(yùn)算過程和正確求解的關(guān)鍵.【命題意圖】本類題考查通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和S間的遞推關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等n比數(shù)列求解【考試方向】由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式或特定項(xiàng)問題，有時以小題形式來考，主要以考查a,S間的關(guān)系為主，通過轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求解；以解答題形式考查，會多步設(shè)問，通過nn提示或其他方式構(gòu)造特殊數(shù)列求解.【得分要點(diǎn)】關(guān)于通

4、項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和S間的遞推關(guān)系問題，可以轉(zhuǎn)化為項(xiàng)a與annn1?的遞推屯護(hù)而求=a；或者轉(zhuǎn)化為S與S一（_“nn?的遞推式，先求Sn,再求a,其中轉(zhuǎn)化關(guān)鍵為I—一n1S,n1,a1,通過轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列或易求通項(xiàng)公式的遞推式求解.nSS,n2?nn1（一）主要知識：有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論1.（1）等差數(shù)列證明方法：an-an-i=d或2an二a“+an+i；（2）等比數(shù)列的證明方法:a2=+_=n二q(q構(gòu)°)或a：a?？a+(an10)nnn1n12.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：anai(n1)d,anam(nm)daF=十a(chǎn)&d一n或一dnm。1nnm(1)n13.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

5、公式（由倒序相加法推得）：n(aian)n(n1)sn,snnad1224?數(shù)列{}a是等差數(shù)列？an=pn+q（p,q為常數(shù)）n2S=an+bn數(shù))n(a,b為常6.等差數(shù)列｛an｝的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列.7.等差數(shù)列｛an｝中，若mnp_q,貝Lam8.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：ann1aq1nmanaq(nm)。-Hl9.a(11a_aq11q（有關(guān)等比數(shù)列的求和問題,當(dāng)不能確定“qT時,應(yīng)分q1,q1來討論）。10.等比數(shù)列｛Qn｝中，若mnpq‘貝08manapaq11.等比數(shù)列｛a』的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列S,S+m2mmS,SS,仍為等比數(shù)3m2m列

6、.12.兩個等差數(shù)列｛a｝與｛b｝的和差的數(shù)列｛ab｝仍為等差數(shù)列.nnnn13.兩個等比數(shù)列｛a｝與｛bn｝的積、商、倒數(shù)的數(shù)列｛anbn｝、nanbn1仍為等比數(shù)bn3?數(shù)列｛｝a是等差數(shù)列？n列.（二）主要方法:1.解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的問題時，通?？紤]兩類方法：①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a和d（q）的方程；②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化1++繁為簡，減少運(yùn)算量.+2.深刻領(lǐng)會兩類數(shù)列的性質(zhì)，弄清通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式的內(nèi)在聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.2取?得最【母題1】?設(shè)S是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且ai1,an1SSi,則使nSnn2110Sn大值時n

7、的值為（）A.2B?5C.4D?3【答案】D【解析】因?yàn)橐?st-s,nn所以有+一1ns為首項(xiàng)等于4公差為4的等差2=nS_1+-2n()n+—>/n"110S21010n=110,因?yàn)閚nn10()110()nn—_=—210,當(dāng)且僅當(dāng)n10時取等號，因?yàn)闉樽匀粩?shù)，所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可從與40相鄰的兩個整數(shù)中求最大值,2nSn3,Sns210n19n4,Sn2nSn3,此時n19,所以最大值為3,故本題正確選項(xiàng)為D.s210n13馬疇橢斜瞬昌知條?慚芋2冷?鳥數(shù)列轆痕百為竣